Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода простых итераций. Обычно этот метод дает лучшую сходимость, чем метод простых итераций. Процесс Зейделя может сходиться, даже если расходится метод простых итераций.

Метод Зейделя заключается в том, что при вычислении -го приближения неизвестного используются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных .

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя можно разбить на несколько шагов.

1. Исходную систему уравнений вида (1.1) привести к эквивалентной системе, пригодной для итераций, вида (1.5).

2. Для приведенной матрицы проверить сходимость итерационного процесса с использованием условия . Если какая-либо норма этой матрицы меньше 1, то итерационный процесс будет сходиться. Однако метод Зейделя может сходиться, даже если условие сходимости для метода простых итераций не выполняется.

3. Записать последовательность итераций:

,

,

, (1.7)

...

,

...

.

В программе можно использовать только выражение для .

4. Выбрать начальное приближение. В качестве начального приближения могут выбираться произвольные значения, но при вычислениях обычно принимается .

5. Проводить вычисления по формулам (1.7). Итерационный процесс нужно реализовать с использованием операторов

do { последовательность действий } while ( условие ),

то есть проводить вычисления до тех пор, пока выполняется условие ().

Здесь – погрешность данной итерации, которая вычисляется по формуле .

Примечание: Необходимо использовать только один вид норм, как правило, это m-норма.