Квадратурная формула Гаусса. Этот метод характеризуется высокой точностью при небольшом числе точек, используемых для расчетов

Этот метод характеризуется высокой точностью при небольшом числе точек, используемых для расчетов.

Рассмотрим функцию на отрезке . Для вычисления интеграла по методу Гаусса на отрезке выбираются точек.

Квадратурная формула Гаусса записывается на основе полиномов Лежандра

. (6.5)

Запишем несколько первых полиномов:

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:

1)

2) , где - любой полином степени .

При вычислении интеграла по квадратурной формуле Гаусса (6.6)

необходимо найти значения коэффициентов и точки .

Точки находятся как нули соответствующего полинома Лежандра (степени )

,

которые могут быть найдены, например, методом поразрядного приближения с требуемой точностью .

Для определения коэффициентов используется система

Уравнения данной системы составляются следующим образом:

. (6.7)

Пример. Пусть требуется вывести квадратурную формулу Гаусса с использованием трех вспомогательных точек. Сначала находятся нули , то есть корни уравнения

Для этого уравнения корни всегда равны следующим значениям:

, .

Коэффициенты найдем из системы линейных алгебраических уравнений (6.7):

тогда .

Следовательно, для любой функции квадратурная формула Гаусса с тремя точками запишется следующим образом:

.

Для вычисления общего интеграла используется замена переменной . (6.8)

Получим

.

Применяя к последнему интегралу квадратурную формулу Гаусса, получим

, (6.9)

где ; - нули полинома Лежандра .