2015-04-30
711
10.2.3.1 Проектирование ARC-фильтров на операционных усилителях основывается на последовательном включении развязанных звеньев порядка не выше второго. Поэтому для реализации фильтра высокого порядка функцию его передачи следует представить в виде произведения сомножителей, функции передачи каждого из которых не выше второй.
10.2.3.2 Вывод соотношений для звена с многопетлевой ОС
Как правило, с помощью одного операционного усилителя (ОУ) и RC элементов в цепи обратной связи реализуют (создают) звено, обладающее функцией передачи второго порядка. Пример звена с многопетлевой обратной связью показан на рис. 10.19.
Рис. 10.19
Для составления функции передачи звена используем законы Кирхгофа.
Например, сумма токов втекающих в узел «2» должна равняться нулю. Будем для определенности токи, втекающие в узел записывать со знаком «-», а вытекающие — со знаком «+»:
(10.2)
Потенциал инвертирующего входа ОУ (рис. 10.19, а) близок к потенциалу неинвертирующего. Разница равна 
. Если К стремится к бесконечности (а реальные значения составляют К = 20 000), потенциал инвертирующего входа стремится к нулю.
Тогда сумма падений напряжений на сопротивлении z3 и на выходе ОУ должна равняться нулю:
(10.3).
Аналогично: 
(10.4)
Но 
и 
можно связать также просуммировав падения напряжений по контуру z2, z4, uВЫХ (сумма падений напряжений по контуру равна нулю):
(10.5)
Аналогично, для контура 
:
, (10.6)
но 
, откуда 
(10.7)
Используя (10.3) и (10.4) получим:
(10.8)
Выразив u 2 из (10.6) и подставив в (10.8) получим:
(10.9)
Теперь необходимо из (10.4), (10.5), (10.7) выразить токи (i 2, i 3, i 4,) и подставить в (10.2):
(10.10)
(10.11)
, откуда:
(10.12)
Подставив (10.12) в (10.9) получим:
(10.13)
Теперь можно получить выражения для функций передачи звеньев с различными АЧХ.
10.2.3.3 Например, звено, изображенное на рис. 10.20 является звеном ФНЧ.
Рис. 10.20 Звено ФНЧ на ОУ с многопетлевой ОС и его АЧХ
Для этой схемы: z 1 = R 1, z 2 = 
, z 4 = R 2, z 5 = R 3, z 3 = 
. После подстановки функция передачи:
. (10.14)
Отнормируем функцию (10.14), поделив ее числитель и знаменатель на квадрат частоты среза 
ФНЧ:
, (10.15)
здесь 
– нормированная частотная переменная, 
,
(10.16)
— коэффициент передачи на постоянном токе,
С = 
, (10.17)
B = 
(10.18)
— коэффициенты полинома знаменателя.
При значении частот p, s стремящихся к нулю, функции (10.14) и (10.15) стремятся к значению 
.
Для того чтобы определить значения элементов R 1, R 2, R 3, C 1, C 2 необходимо сопоставить величины коэффициентов при первой степени частоты и свободного члена с величинами коэффициентов сомножителей второго порядка для фильтров с требуемыми функциями передачи, например, с функциями фильтров при аппроксимации по Баттерворту или Чебышеву.
10.2.3.4 При аппроксимации квадрата АЧХ по Баттерворту идеальная прямоугольная характеристика (показана на рис 1.8 тонкой линией) заменяется максимально-гладкой кривой.
, (10.19)
где n — порядок аппроксимирующей функции.
Для оценки затухания вносимого фильтром в полосе задерживания удобнее использовать функцию обратную (10.19) и оценивать затухание в дБ:
(10.20)
На частоте среза фильтра W = 1 затухание А составляет 3 дБ, что соответствует уменьшению АЧХ в 0,707 раз 
. Примеры функций затухания фильтров пятого порядка (n = 5) с Баттервортовской и Чебышевской характеристиками приведены на рис. 10.21.
Рис. 10.21 Характеристики затухания фильтров Баттерворта и Чебышева
пятого порядка (n = 5)
Функцию передачи ФНЧ при аппроксимации по Баттерворту (в соответствии с соотношениями (1.25—1.27) и (10.19)) можно представить в виде
, (10.21)
либо как произведение сомножителей для n = 2, 4, 6,…:
, (10.22)
или для n = 3, 5, 7,…:
(10.23)
Коэффициенты bk при любом значении k определяются по соотношению:
(10.24)
Примеры сомножителей функций передач ФНЧ при аппроксимации их АЧХ по Баттерворту приведены в таблице 10.3. В соотношении (10.15) значения B выбираются равными bk, С — равными 1 (см. табл. 10.3).
Таблица 10.3
| n | Сомножители функции передачи при аппроксимации по Баттерворту |
| s 2 +1,4142 s + 1 | |
| (s +1)(s 2 + s +1) | |
| (s 2 +0,7654 s +1)(s 2 +1,8478 s + 1) | |
| (s + 1)(s 2 +0,6180 s +1)(s 2 +1,6180 s + 1) | |
| (s 2 +0,5176 s +1)(s 2 +1,4142 s + 1) (s 2 +1,9319 s +1) | |
| (s +1) (s 2 +0,4450 s +1)(s 2 +1,2470 s + 1) (s 2 +1,8019 s +1) | |
| (s 2 +0,3902 s +1)(s 2 +1,1111 s + 1) (s 2 +1,6629 s +1) (s 2 +1,9616 s +1) | |
| (s +1) (s 2 +0,3473 s +1)(s 2 + s + 1) (s 2 +1,5321 s +1) (s 2 +1,8794 s +1) | |
| (s 2+0,3129 s +1)(s 2+0,9080 s +1) (s 2+1,4142 s +1)(s 2+1,7820 s +1)(s 2+1,9754 s +1) |
10.2.3.5 При аппроксимации квадрата АЧХ по Чебышеву:
, (10.25)
где 
— полином Чебышева n -ного порядка.
В полосе пропускания функция квадрата АЧХ изменяется между значениями 1 и 
(рис. 10.22). Неравномерность АЧХ отсчитывается либо в разах с помощью параметра d, либо с помощью параметра D A в дБ [12].
, (10.26)
или 
(10.27)
Рис. 10.22 Параметры АЧХ и коэффициента отражения
Полюсы передаточной функции T (p), расположенные в левой полуплоскости определяются по соотношениям [12]:
pk = 
(10.28)
где k = 1, 2, 3,…, n,
; 
; 
(10.29)
Связь параметров 
, d и максимального в полосе пропускания значения коэффициента отражения Г МАКС приведена в табл. 10.4.
Таблица 10.4
| D A дБ | d | Г МАКС= 
|
| 0,1 | 0,02276 | 0,15086 |
| 0,2 | 0,045007 | 0,212148 |
| 0,5 | 0,10875 | 0,32977 |
| 1,0 | 0,205671 | 0,4535 |
Значения g и b приведены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
| n | DА = 0,1 дБ | DА = 0,2 дБ | DА = 0,5 дБ | DА = 1,0 дБ | ||||
| 
|
|
|
|
|
|
| |
| 1,67750 | 1,95295 | 1,36265 | 1,69021 | 1,0080 | 1,4199 | 0.7762 | 1.26590 | |
| 0,96940 | 1,39274 | 0,81463 | 1,28981 | 0,6264 | 1,1800 | 0.4942 | 1.11543 | |
| 0,69027 | 1,21510 | 0,58746 | 1,15978 | 0,4582 | 1,0999 | 0.3646 | 1.06440 | |
| 0,53891 | 1,13597 | 0,46138 | 1,10130 | 0,3623 | 1,0636 | 0.2895 | 1.04106 | |
| 0,44314 | 1,09378 | 0,38067 | 1,07000 | 0,3000 | 1,0440 | 0.2402 | 1.02845 | |
| 0,37677 | 1,06862 | 0,32431 | 1,05127 | 0,2561 | 1,0322 | 0.2054 | 1.02087 | |
| 0,32795 | 1,05240 | 0,28265 | 1,03918 | 0,2236 | 1,0246 | 0.1794 | 1.01597 | |
| 0,29046 | 1,04133 | 0,25057 | 1,03091 | 0,2031 | 1,0204 | 0.1593 | 1.01261 | |
| 0,26074 | 1,03343 | 0,22507 | 1,02501 | 0,1783 | 1,0157 | 0.1433 | 1.01021 |
Таблицы сомножителей функций передачи, составленные с помощью соотношения (10.28) для значений неравномерности DA = 0,1 0,2 0,5 1,0 дБ приведены в таблицах 10.6, 10.7, 10.8, 10.9.
Таблица 10.6
| n | Сомножители функции передачи при аппроксимации по ЧебышевуDА = 0,1дБ |
| s 2+2,3723 s +3,314 | |
| (s +0,9694)(s 2 + 0,9694 s +1,6897) | |
| (s 2 +0,5283 s +1,3300)(s 2 +1,2754 s + 0,6229) | |
| (s + 0,5389)(s 2 +0,3330 s +1,1949)(s 2 +0,8719 s + 0,6359) | |
| (s 2 +0,2294 s +1,1294)(s 2+0,6267 s + 0,6964) (s 2 +0,8560 s +0,2633) | |
| (s +0,3768) (s 2 +0,1676 s +1,0924)(s 2 +0,4698 s + 0,7532)(s 2 +0,6789 s +0,3302) | |
| (s 2 +0,1279 s +1,0695)(s 2 +0,3644 s + 7989) (s 2 +0,5453 s +0,4162) ´ (s 2 +0,6433 s +0,1456) | |
| (s +0,29046) (s 2 +0,10087 s +1,05421)(s 2 +0,29046 s + 0,8344) (s 2 +0,4450 s +0,4975) (s 2 +0,5459 s +0,2013) | |
| (s 2+0,08158 s +1,04351)(s 2+0,2367 s +0,8618) (s 2+0,3687 s +0,5679)(s 2+0,4646 s +0,2740)(s 2+0,5150 s +0,09245) |
Таблица 10.7
| n | Сомножители функции передачи при аппроксимации по ЧебышевуDА = 0,2дБ |
| s 2 +1,927 s +2,356 | |
| (s +0,8146)(s 2 + 0,8146 s +1,4136) | |
| (s 2 +0,44958 s +1,19861)(s 2 +0,8307 s + 0,3695) | |
| (s + 0,461382)(s 2 +0,2851 s +0,94325)(s 2 +0,7463 s + 0,6091) | |
| (s 2 +0,19705 s +1,0505)(s 2 +0,5383 s + 0,6449) (s 2 +0,73539 s +0,2119) | |
| (s +0,32431)(s 2+0,1443 s +1,0547)(s 2+0,4044 s +0,7164)(s 2+0,5844 s +0,2934) | |
| (s 2+0,11103 s +1,04183)(s 2+0,31407 s +0,7712)(s 2+0,4700 s +0,3887)´ ´(s 2 +0,5544 s +0,1179) | |
| (s +0,25056)(s 2+0,08702 s +1)(s 2+0,25057 s +0,81278) ´ ´(s 2+0,43399 s +0,31278) (s 2 +0,47091 s +0,17976) | |
| (s 2+0,07042 s +1,0262)(s 2+0,20436 s +0,84455)(s 2+0,3183 s +0,55065)´ ´ (s 2+0,4011 s +0,2567)(s 2+0,4446 s +0,07513) |
Таблица 10.8
| n | Сомножители функции передачи при аппроксимации по ЧебышевуDА = 0,5 дБ |
| s 2 +1,4256 s +1,5162 | |
| (s +0,6264)(s 2 + 0,6264 s +1,1424) | |
| (s 2 +0,3507 s +1,0635)(s 2 +0,8467 s + 0,3564) | |
| (s + 0,3623)(s 2 +0,2239 s +1,0358)(s 2 +0,5862 s + 0,4767) | |
| (s 2 +0,1553 s +1,02302)(s 2 +0,4243 s + 0,590) (s 2 +0,5795 s +0,1570) | |
| (s +0,2562) (s 2 +0,1140 s +1,0161)(s 2 +0,3194 s + 0,6768)(s 2 +0,4616 s +0,2538) | |
| (s 2 +0,08724 s +1,0119)(s 2 +0,2484 s + 0,7413) (s 2 +0,3718 s +0,3536) ´ (s 2 +0,4386 s +0,0880) | |
| (s +0,1984) (s 2 +0,06890 s +1,0092)(s 2 +0,1984 s + 0,7893) (s 2 +0,3039 s +0,4525) (s 2 +0,3729 s +0,1563) | |
| (s 2+0,05580 s +1,0073)(s 2+0,1619 s +0,8257) ´ ´(s 2+0,2522 s +0,5318)(s 2+0,3178 s +0,2379)(s 2+0,3523 s +0,05628) |
Таблица 10.9
| n | Сомножители функции передачи при аппроксимации по ЧебышевуDА = 1,0 дБ |
| s 2 +1,0977 s +1,1025 | |
| (s +0,4942)(s 2 + 0,4942 s +0,9942) | |
| (s 2 +0,2791 s +0,9865)(s 2 +0,6737 s + 0,2794) | |
| (s + 0,2895)(s 2 +0,1789 s +0,9883)(s 2 +0,4684 s + 0,4293) | |
| (s 2 +0,1243 s +0,9907)(s 2 +0,3397 s + 0,5577) (s 2 +0,4641 s +0,1247) | |
| (s +0,2054) (s 2+0,0914 s +0,9927)(s 2+0,2561 s +0,6534)´ ´ (s 2 +0,3701 s +0,2304) | |
| (s 2 +0,07001 s +0,9941)(s 2 +0,1964 s + 0,7235) (s 2 +0.2984 s +0,3408) ´ (s 2 +0,3520 s +0,07026) | |
| (s +0,1593) (s 2 +0,05533 s +0,9952)(s 2 +0,1593 s + 0,7754) (s 2 +0,2441 s +0,4385) (s 2 +0,2994 s +0,1423) | |
| (s 2+0,04483 s +0,9960)(s 2+0,1301 s +0,8144)(s 2+0,2026 s +0,5205) (s 2+0,2553 s +0,2266)(s 2+0,2830 s +0,0450) |
В соотношении (10.15) значения B и С выбирается из табл. 10.6—10.9.
Итак, в общем случае, полином знаменателя сомножителя функции передачи имеет вид 
. Сопоставляя коэффициенты В, С из таблиц и соотношения (10.15)найдем соотношения для расчета величины элементов R 1, R 2, R 3, C 1, C 2 звена активного фильтра.
Выразим R 1 из (10.16) и подставим в (10.17):
(10.30)
Выразим 1/ R 3 из (10.30) и подставим в (10.18):
или 
откуда 
или 
(10.31)
В простейшем случае при К=1, R 1 = R 2. Из (10.31):
(10.32)
или 
(10.33)
При выполнении равенства (10.33) 
(10.34)
Из (10.16) 
(10.35)
Пример расчета и моделирования ФНЧ восьмого порядка n = 8 при аппроксимации по Баттерворту. Выпишем сомножители функции передачи из таблицы 10.3:
Таким образом, фильтр будет содержать четыре звена по схеме рис. 10.20 включенные последовательно. Зададим частоту среза фильтра, например,
f СР= 10 кГц и выберем «произвольно» значение емкостей C 21 = C 22 = C 23 = C 24 = = 2 нФ.
Здесь C 21 = C 22 = C 23 = C 24 — значения емкостей C 2 соответственно в первом, втором, третьем и четвертом звене.
Далее рассчитываем значения емкости С 11, резисторов R 11 и R 31 для первого звена по соотношениям (10.33), (10.34), (10.35). Значение В 1 = b 1 = 0,3902; С 1 = 1.
нФ,
кОм
Ом
Аналогичным образом рассчитываем значения емкостей и конденсаторов для второго, третьего и четвертого звеньев (при этом В 2 = b 2 = 1,1111; В 3 = b 3 = 1,6629; В 4 = b 4 = 1,9616; С 2 = С 3 = С 4 = 1):
С 12 = 12,96 нФ, С 13 = 5,78 нФ, С 14 = 4,16 нФ;
R 12 = 4,42 кОм, R 13 = 6,62 кОм, R 14 = 7,81 кОм;
R 32 = 2,21 кОм, R 33 = 3,31 кОм, R 34 = 3,902 кОм,
Схема фильтра, в пакете OrCad, изображена на рис. 10.23, частотные характеристики — на рис. 10.24.
Рис. 10.23
Рис. 10.24
