Правило нахождения общего решения

1 шаг. Интегрируем первое из уравнений (7.10) по переменной , считая постоянной

(7.11)

Здесь постоянная интегрирования, зависящая в данной ситуации от фиксированной .

2 шаг. Дифференцируя полученное выражение по , получим

(7.12)

3 шаг. Подставляя полученное равенство (7.12) во второе равенство (7.10) мы находим . Интегрируя затем по определяем и, следовательно искомую функцию . Используя

Формулу (7.7) записываем общее решение ОДУ в полных дифференциалах (7.8).

Пример 4. Найти общее решение ОДУ в полных дифференциалах .

Решение. Убедимся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Для

этого проверим выполнение условия (7.10)

Условие (7.10) выполняется. Используем правило

1шаг. .

2 шаг. Дифференцируем полученное выражение по

3 шаг. . Интегрируя последнее равенство

определяем первообразную .

Отсюда определяем . Согласно формуле (7.7)

общий интеграл имеет вид