Построение математической модели

Последовательность анализа марковской СМО не зависит от конкретного типа СМО и состоит из следующих этапов:

1. Конструируется пространство состояний СМО;

2. Определяются вероятности переходов из состояния в состояние за некоторое достаточно малое время D t;

3. Составляются уравнения полных вероятностей пребывания системы в состояниях i в момент t + D t;

4. Выводятся дифференциальные уравнения для вероятностей пребывания системы в состоянии i;

5. Система дифференциальных уравнений решается для установившегося режима, при котором производные вероятностей обращаются в нуль;

6. Рассчитанные значения установившихся вероятностей определяют искомые показатели качества системы.

Рассмотрим многоканальную СМО с конечной очередью (рис. 9). Система имеет каналов и мест в очереди. Интенсивность входящего потока заявок - , интенсивность обслуживания - . Дисциплина обслуживания - заявки поступают на обслуживание в порядке их поступления в систему. Если заявка приходит в момент, когда заняты все мест в очереди, то она получает отказ и покидает систему.

Рис. 9 Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием.

Поток входящих заявок - пуассоновский, закон распределения длительности обслуживания - показательный. Система может находится в следующих состояниях:

«нет очереди»:

—все каналы свободны;

— занят один канал, остальные свободны;

— заняты каналов, остальные нет;

— заняты все каналов, свободных нет;

«есть очередь»:

—заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;

— заняты все n каналов, r заявок в очереди;

—заняты все n каналов, r заявок в очереди.

Определим установившиеся вероятности состояний процесса функционирования марковской СМО. Обозначим через - вероятность того, что в момент t система находится в - состоянии. Придадим t малое приращение D t и найдем вероятность того события, что в момент t + D t система будет находится в - состоянии. Это событие, при достаточно малых D t может реализоваться следующими тремя вариантами:

1) в момент t система была в ( -1) состоянии и за время D t перешла из него в - состояние:

(6)

где:

приближенно равна условной вероятности перехода из ( -1) в - состояние за времяD t;

2) в момент t система была в ( +1) состоянии и за время D t перешла из него в - состояние, аналогично:

(7)

3) в момент t система была в - состоянии и за время D t не перешла из него ни в ( +1)-ое ни в ( -1)-ое состояния.

Вероятность того, что за время D t не осуществится ни один из этих переходов, равна и, поэтому вероятность этого варианта:

(8)

Применяя правило сложения вероятностей получим:

(9)

После раскрытия скобок и переноса в левую часть получим:

(10)

Переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для вероятности состояния :

(11)

Рассчитанные значения установившихся вероятностей определяют искомые показатели качества системы. Обозначив , где ρ – коэффициент загрузки, запишем выражения для предельных вероятностей состояний:

(12)

Здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем . Таким образом, все вероятности состояний найдены. Определим характеристики эффективности системы.

1) Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты n каналов и m мест в очереди:

(13)

2) Относительная пропускная способность:

=1 - (14)

3) Абсолютная пропускная способность:

(15)

4) Среднее число занятых каналов.

Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени. Вся СМО обслуживает в единицу времени A заявок, поэтому среднее число занятых каналов определится так:

(16)