Обходы графа совершаются с целью поиска вершины или ребра (дуги), обладающей тем или иным признаком. По организации обхода вершин (ребер) различают
- поиск в ширину,
- поиск в глубину.
Для пояснения различий этих поисков по исходному графу построим дерево рис. 2.26 с корнем в вершине – начале обхода (это этаж 1), от этой вершины проводим ребра, инцидентные ей, получаем этаж 2. Затем аналогично строим следующий этаж и т.д.
Обход в ширину идет просмотром вершин этажа и далее по этажам. Это обслуживание очереди.
Обход в глубину – идем по ветви до конца, если нужная вершина не найдена, то возвращаемся до первого разветвления и далее по новой веточке вниз – обслуживание стека.
Рисунок 2.26
В псевдографе число ребер и дуг (петли либо не учитывают, либо учитывают как два ребра или дуги), инцидентных некоторой вершине хi, называют степенью вершины (обозначение deg xi).
Например, у графа показанного на рис. 2.27
степень вершины: x 1: 6
(ребра е 1, е 2, е 5, е 7, е 8, дуга е 3);
степень вершины x 2: 5
(ребра е 1, е 2, дуги е 3, e 4, e 6);
|
|
степень вершины x 3: 2
(ребро e 5, дуга e 4,);
степень вершины x 4: 6
(ребра е 7, е8, e 9, дуги e 6, e 10, e 11);
степень вершины x 5: 3
(ребро e 9, дуга e 10, дуга e 11).
Рисунок 2.27
В неорграфе степень вершины равна числу инцидентных ей ребер, а сумма степеней вершин равна удвоенному числу его ребер:
.
Пример, подтверждающий справедливость этой формулы, показан на рис. 2.28.
Рисунок 2.28
Если deg vi = 0, то эта вершина изолированная.
Если deg vi = 1, то эта вершина висячая.
Для орграфа вводятся понятия полустепени исхода (deg+) и полустепени захода (deg–) вершины, что соответствует числу выходящих и входящих дуг соответственно.
Для орграфа, показанного на рис. 2.29,
Рисунок 2.29
полустепень исхода вершины a: 2 (две выходящие дуги: 1, 2),
полустепень захода вершины a: 1 (одна заходящая дуга 10),
полустепень исхода вершины b: 1,
полустепень захода вершины b: 2
полустепень исхода вершины c: 2,
полустепень захода вершины c: 0,
полустепень исхода вершины d: 0,
полустепень захода вершины d: 2,
полустепень исхода вершины e: 1,
полустепень захода вершины e: 3,
полустепень исхода вершины f: 3,
полустепень захода вершины f: 0,
полустепень исхода вершины g: 1,
полустепень захода вершины g: 2.
Для орграфа и .
Если deg– vi = 0, то эта вершина – источник.
Если deg+ vi = 0, то эта вершина тупиковая – сток.
Если граф имеет вершины одинаковой степени (полустепени исхода и захода), то его называют регулярным.
Вершины графа G (3,6) x 1, x 2, x 3 (рис. 2.30) имеют одинаковую степень, равную 4, следовательно, G – регулярный граф.
Регулярный граф, в котором каждая пара смежных вершин имеет одинаковое число общих соседей и каждая пара несмежных вершин имеет свое одинаковое число общих соседей, называют сильно регулярным графом.
|
|
У графа, показанного на рис. 2.31, имеем
Смежные вершины Несмежные вершины
x 1 и x 2: 2 общих соседа: x 4 и x 3 х 1 и х 3: 2 общих соседа: x 2 и x 4
x 1 и x 4: 2 общих соседа: x 2 и x 3 х 2 и х 4: 2 общих соседа: x 1 и x 3
x 4 и x 3: 2 общих соседа: x 1 и x 2 x 2 и x 3: 2 общих соседа: x 4 и x 1
Одинаковое число общих Одинаковое число общих
соседей: 2. соседей: 2.
У смежных вершин и у несмежных вершин одинаковое число общих соседей по 2, следовательно, граф сильно регулярный..
Рисунок 2.30
Рисунок 2.31