2015-05-14
410
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида: 
с непрерывными функциями 
и 
.
Будем искать общее решение методом И.Бернулли в виде произведения двух новых неизвестных функций: 
, что дает определенную свободу в выборе одного из множителей, позволяя придать ему необходимый для дальнейшего вид. Тогда 
. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:
.
Группируя слагаемые с 
, получаем: 
.
Потребуем от функции 
, чтобы множитель в квадратных скобках при тождественно обращался в нуль:
(10)
Уравнение (10) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение (без произвольной постоянной):
(10) 
.
Интегрируем обе части:
; 
; 
;
выбираем в качестве частного решения функцию 
(здесь символом неопределенного интеграла обозначена какая-либо первообразная функции ).
Теперь подстановка найденной функции в (10) дает уравнение с разделяющимися переменными относительно :
.
В итоге получаем общее решение:
;
. (11)
Хотя при решении линейного уравнения можно сразу выписывать общий интеграл по формуле (11), представляется полезным проследить на примере всю цепочку выкладок, приводящих к (11).
|
|
|
Пример. Рассмотрим линейное уравнение:
на интервале 
с начальными условиями 
.
Здесь 
. Полагаем:
.
Подставляем в уравнение выражения для 
и 
:
.
. (12)
Накладываем на условие: 
тогда
, и можно выбрать 
. Подставляем в (12) и учитываем, что, в соответствии с выбором функции , выражение в квадратных скобках тождественно равно нулю:
.
Функция
является общим решением.
Найдем частное решение задачи Коши. Подставим для этого начальные условия в общее решение и найдем соответствующее значение константы 
:
Подставив найденное значение в общее решение, получаем решение задачи Коши:
.
