Плоскость

Поверхности в трехмерном пространстве

В этом разделе мы рассмотрим плоскость, а также поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка.

Плоскость

Любое линейное уравнение определяет плоскость и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Уравнение вида:

Ах+By+Cz+D=0

называется общим уравнением плоскости.

Важные частные случаи уравнения плоскости возникают при равенстве нулю некоторых из коэффициентов А, В, С и D. Если D =0, то уравнение Ах+By+Cz= 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Если А =0, то уравнение By+Cz+D =0 определяет плоскость, параллельную оси 0х; если А=D =0, то уравнение By+Cz =0 определяет плоскость, проходящую через ось 0т, если А=В =0, то уравнение Cz+D= 0 определяет плоскость, параллельную плоскости 0ху; если А=В = D =0, то уравнение Cz =0 (или z =0) определяет координатную плоскость 0ху.

Существует также ряд уравнений, определяющих плоскости, обладающие специальными свойствами:

1. Уравнение плоскости в отрезках:

где а, b, с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с учетом знака.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(x1, y1, z1):

а(x–x₁)+ (у–у₁)+с(z – z₁)= 0.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1, y1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3):

В MS Excel Мастер диаграмм может быть также использован и для построения плоскостей. Необходимо ввести точки плоскости в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей оси х, ввести названия осей.

Упражнение 8.1. Рассмотрим построение плоскости в Excel на примере уравнения 2х+ 4y–2z+2=0. Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в I квадранте (х Î[0; 6] с шагом D=0,5, у Î[0; 6] с шагом D=1).

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере z=х+2у+ 1.

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (0). В ячейку С1 вводится второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения (1). Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки H1).

Далее вводим значения переменной z. В ячейку В2 вводим ее уравнение: = $А2+2*В$1+1, предварительно переключившись на английский язык (Alt+Shift). Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А — переменной х и строки 1 — переменной у. Затем автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2, после чего — в диапазон ВЗ:Н14 (протягиванием вниз).

В результате должна быть получена следующая таблица:

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных В2:Н14.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести диапазон подписей оси х — А2:А14.

Далее вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд указываем первую запись Ряд 1 и в рабочее поле Имя, активировав его указателем мыши, вводим первое значение переменной у: 0. Затем в поле Ряд указываем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у: 1. Повторяем таким образом до последней записи — Ряд 7. В результате вкладка Ряд будет иметь следующий вид.

После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы, ввести с клавиатуры в данное поле название: Плоскость. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: х, у и z.

Далее нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена следующая диаграмма.