Теоретическое введение. В электро– и радиотехнике обычно переменными называют токи, меняющиеся со временем по гармоническому закону

В электро– и радиотехнике обычно переменными называют токи, меняющиеся со временем по гармоническому закону:

(12.1)

гдеI – мгновенное значение тока; I₀ – амплитудное его значение; ω – круговая частота его изменения; α₀ – начальная фаза. Напомним, что частота технического переменного тока ν = 50гц; ω = 2πν = 314с^-1.

Такие токи создаются электродвижущей силой, которая также меняется по гармоническому закону:

e=e₀cos(wt+a₀¢) (12.2)

где e - мгновенное значение э.д.с.; e₀– амплитудное её значение; ω – круговая частота её изменения; α₀¢ – её начальная фаза. Отметим, что в общем случае α₀ и α₀¢ не равны между собой. Их разность называют сдвигом фаз между приложенным напряжением и током: .

Сдвиг фаз и амплитудное значение переменного тока определяются параметрами присоединенной электрической цепи: омическим сопротивлением R; индуктивностью L и ёмкостью С. Это связано с тем, что в контуре, по которому течет переменный ток, возникает э.д.с. самоиндукции. Кроме того, в отличие от постоянного тока, переменный ток может протекать по цепи, содержащей конденсатор. Однако, величина такого тока будет зависеть как от емкости конденсатора, так и от частоты, с которой меняется заряд на его пластинах.

Таким образом, величина переменного тока зависит не только от омического сопротивления R(сопротивления цепи постоянному току), но и от индуктивного сопротивления R_L и от емкостного R_C.

В общем случае цепь переменного тока содержит все три сопротивления. Соотношение, связывающее амплитудное значение силы тока с амплитудным значением напряжения, называют законом Ома для амплитуд тока и напряжения. Для того, чтобы получить это соотношение, выясним, как влияет на величину переменного тока каждое из указанных сопротивлений.

1. Подключим к источнику переменной э.д.с. только омическое сопротивление (рис.12.2). Тогда на основании второго правила Кирхгофа запишем:

IR = (12.3)

(12.4)

где - амплитудное значение тока.

Рис. 12.1.

Из (12.4), как и из рис.12.3 видно, что омическое сопротивление не создает сдвига фаз между током и напряжением. Значения тока и напряжения одновременно достигают как своего максимального значения, так и проходят через ноль, изменяя своё направление.

Рис. 12.2. Рис. 12.3

2.Теперь подключим к источнику переменной э.д.с. только катушку индуктивности L. Для упрощения ситуации предположим, что её омическое сопротивление равно нулю (рис.12.4а).

Рис. 12.4а Рис. 12.4б

Проходящий через катушку переменный ток, вызовет изменение магнитного потока, что в свою очередь приведет к возникновению в ней э.д.с. самоиндукции . Тогда по второму правилу Кирхгофа:

(12.5)

(12.6)

Разделим переменные и проинтегрируем это выражение:

(12.7)

тогда:

(12.8)

Так как в цепи переменного тока не может быть постоянной составляющей тока, то const=0. Воспользовавшись формулами приведения: запишем, что:

(12.9)

где - индуктивное сопротивление - амплитудное значение тока.

Как видно из формулы (12.9) и из графика рис.12.4, индуктивность создает сдвиг фаз между током и напряжением на . Причем, напряжение опережает ток на эту величину: когда ток максимален, то напряжение равно нулю, и наоборот.

3. Подключим, теперь, к переменной э.д.с. конденсатор емкостью С (R=0; L=0). Тогда напряжение на пластинах конденсатора в каждый момент времени будет равно мгновенному значению э.д.с. индукции:

(12.10)

Так как заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем по закону:

(12.11)

то по проводам потечет ток:

(12.12)

Используя формулы приведения :

(12.13)

Амплитудное значение тока , откуда емкостное сопротивление .

Из формулы (12.13) и из рис.12.6 видно, что емкостное сопротивление сдвигает ток по отношению к напряжению на , причем в этом случае ток опережает напряжение на эту величину.

Рис. 12.5 Рис. 12.6

4. Теперь рассмотрим работу полной последовательной цепи переменного тока, т.е. цепи содержащей последовательно соединенные активное (омическое) сопротивление R, индуктивное R_L и емкостное R_C, рис.12.7.

Рис. 12.7

Очевидно, что, хотя эти три сопротивления и соединены друг с другом последовательно, полное сопротивление такой цепи не равно их арифметической сумме, так как индуктивное R_L и емкостное R_C сопротивление вызывают сдвиг фаз между напряжением и током. Влияние, оказываемое этими сопротивлениями на величину тока в каждый момент времени, оказывается противоположным.

Найдем соотношение, связывающее ток и вынуждающее напряжение в такой цепи. Из второго правила Кирхгофа:

(12.14)

Из первого правила Кирхгофа вытекает, что мгновенное значение тока во всех участках цепи одинаково. Начало отсчета времени выберем таким образом, чтобы начальная фаза была равна нулю, тогда

(12.15)

Тогда падение напряжения на каждом из участков цепи запишутся:

(12.16)

Для нахождения суммарного падения напряжения удобно воспользоваться методом векторных диаграмм:

(12.17)

где , , и - вектора соответствующих амплитудных значений.

Вектора , , расположены так, чтобы начало каждого последующего совпадало с концом предыдущего. В результате чего, вектор , соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет соответствовать искомой сумме, а его длина, согласно (14), будет равна амплитудному значению .

Для удобства, согласно рис.12.8, переобозначим: ; ; ; .

Рис. 12.8

Тогда:

(12.18)

(12.19)

(12.20)

(12.21)

(12.22)

Таким образом, мы получили закон Ома, связывающий амплитудные значения силы тока и напряжения в полной последовательной цепи переменного тока (12.22), где z – полное сопротивление такой цепи или импеданс.

Если учесть, что , т.е. ║ , то из этой фазовой диаграммы можно найти сдвиг фаз между током и напряжением, как угол φ между векторами и :

(12.23)

Как видно из соотношения (12.23), максимальный сдвиг фаз между током и напряжением существует в отсутствие активного сопротивления R, при этом . Наличие омического сопротивления в цепи уменьшает абсолютное значение сдвига фаз.

Если индуктивное и емкостное сопротивления равны между собой, то, в этом случае, сдвиг фаз между током и напряжением отсутствует: . При этом циклическая частота генератора равна собственной частоте колебаний цепи :