Теоретическая часть. Каждая квантовая система характеризуется набором собственных значений энергии Е и является устойчивой лишь в некоторых разрешенных состояниях

Каждая квантовая система характеризуется набором собственных значений энергии Е и является устойчивой лишь в некоторых разрешенных состояниях. Переход системы из одного состояния в другое связан с излучением или поглощением энергии. В частном случае, при взаимодействии с электромагнитным полем энергия поля может поглощаться, переводя систему в более высокое энергетическое состояние. При этом должно выполняться правило частот Бора:

, (1)

где E₂ и E₁ - значения энергии системы в верхнем и нижнем состояниях.

Спектр поглощения данной системы определяется совокупностью переходов с нижних уровней на верхние. Таким образом, исследовав спектр поглощения вещества, мы получим информацию о структуре его энергетических уровней.

Спектр поглощения характеризуется совокупностью значений частот спектральных линий или полос, а также распределением их интенсивностей. Интенсивность поглощения, с одной стороны, зависит от вероятности отдельных переходов, и, с другой стороны, от числа атомов в нижних состояниях, т.е. от заселенности нижних уровней энергии. Самым простым является случай, когда заселен только наиболее глубокий (основной) уровень, соответствующий минимуму энергии атомной системы.

Ослабление направленного монохроматического потока излучения в исследуемом материале в зависимости от расстояния характеризуется коэффициентом поглощения. Ослабление потока излучения частотой n на расстоянии от x до x+dx за счет поглощения пропорционально значению потока I_n и расстоянию dx:

, (2)

где - коэффициент поглощения, равный относительному уменьшению потока излучения на единице длины.

Из (2) получаем закон ослабления потока с расстоянием - закон Бугера-Ламберта:

, (3)

где I_no - значение потока при x = 0.

При снятии спектров поглощения измеряют пропускание Т, равное отношению прошедшего через образец излучения I к падающему излучению I₀,

T=I/I₀,

с учетом отражения от поверхностей образца получим

, (4)

где R_n - коэффициент отражения на частоте n; d - толщина образца.

В формуле (4) не учитывается многократное отражение и интерференция света, поэтому она является приближенной. Измерив пропускание света определенной частоты, можно из (4) определить коэффициент поглощения данного материала k_n на частоте n, который не зависит от толщины образца (в отличие от пропускания) и является характеристикой материала.

. (5)

Величина

, (6)

где интегрирование производится по всей линии поглощения, называется интегральным коэффициентом поглощения. Последний связан с заселенностью нижнего (N₁) и верхнего (N₂) энергетических уровней соотношением

, (7)

где n - коэффициент преломления, а B₂₁ и B₁₂ - коэффициенты Эйнштейна для данного типа переходов с уровня E₁ на уровень E₂.

Если уровень E₁ является основным и интенсивность поглощаемого излучения не слишком велика, что выполняется в большинстве случаев, можно положить N₂<<N₁ и тогда

N₁=N₀,

где N₀ - число поглощающих центров в единице объема. При этих условиях равенство (7) записывается в виде

, (8)

откуда следует, что коэффициент поглощения пропорционален концентрации поглощающих центров (закон Беера).

Тогда величину

(9)

можно определить как интегральное поперечное сечение поглощения на один атом. В первом приближении оно не зависит от концентрации активных центров.

Аналогичным образом вводят величину

, (10)

имеющую размерность площади и представляющую собой эффективное поперечное сечение для поглощения фотона частотой n. Считая, что фотон, попадающий на частицу с поперечным сечением s_n, поглощается, мы получим вероятность поглощения в слое толщиной dx, равную s_n×N₀×dx.

Часто форма спектральной линии может быть описана функцией Лоренца

, (11)

где n₀ - частота, соответствующая максимуму спектральной линии; Dn - полуширина линии, т.е. ширина спектральной линии на уровне 0,5g(n₀). Вид этой функции изображен на рисунке 1.

Рисунок 1- Функция Лоренца

Функция, изображенная на рисунке 1, имеет максимум. Функция Лоренца нормирована, так что

, (12)

и её значение в максимуме

. (13)

Для такой линии интегральный коэффициент поглощения, определяемый (6) может быть найден на основании измерения коэффициента поглощения в максимуме спектральной линии (k_макс) и ее полуширины из соотношения

. (14)

Тогда из соотношения (8) на основании измерения поглощения возможно определить коэффициент Эйнштейна B₁₂ для переходов с уровня 1 на уровень 2.

. (15)

В данной работе исследуются спектры поглощения кристаллов рубина (Al₂O₃×Cr³⁺), а также стекла с примесью редкоземельного элемента неодима (Nd³⁺). Кристалл рубина является анизотропным и поэтому его поглощение обнаруживает значительный дихроизм. Элементом симметрии кристалла рубина является ось симметрии третьего порядка, которая совпадает с оптической осью кристалла (ось С).

Энергетическая диаграмма ионов Cr³⁺ в рубине представлена на рисунке 2. Здесь по оси ординат откладываются значения энергии (в см^-1). Эта единица измерения чрезвычайно распространена в спектроскопии и определяется как

.

Рисунок 2 – Схема энергетических уровней Cr³⁺ в рубине

От этих единиц, как нетрудно убедиться, можно перейти к энергетическим (электроновольтам), если учесть, что 1 эв соответствует 8066 см^-1.

Зависимость коэффициента поглощения света в максимуме 5500 от процентного содержания ( Cr₂O₃ ) в кристалле рубина для обыкновенного и необыкновенного лучей приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Зависимость коэффициента поглощения рубина при l=5500 от содержания в нем С₂O₃, где 1 – для обыкновенного луча, 2 – для необыкновенного луча

Процентное содержание Cr₂O₃, входящего в рубин в виде изоморфной примеси, может быть определено по эмпирическим формулам:

а) для обыкновенного луча (падающий свет параллелен оптической оси кристалла)

; (16, а)

б) для необыкновенного луча (падающий свет перпендикулярен оптической оси кристалла)

, (16, б)

где и - коэффициенты поглощения в максимуме ~5500 для обыкновенного и необыкновенного лучей, соответственно, см^-1;

и - коэффициенты поглощения для обыкновенного и необыкновенного лучей в области 6800 , см^-1.

В области l= 6800 , как видно из диаграммы рисунка 2, нет разрешенных переходов между уровнями Cr³⁺. Поэтому можно положить

.

Тогда с учетом (5), формулы для определения Cr₂O₃ содержания в рубине принимают вид:

, (17, а)

, (17, б)

где d - толщина образца, см; , , , -величины пропускания образцов для соответствующих длин волн.

Схема энергетических уровней иона Nd³⁺ в стекле представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 – Схема энергетических уровней Nd³⁺ в стекле