Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам

Различают два класса нелинейных регрессий:

· регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

· регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

· полиномы разных степеней – у = а + bх + сх ² + ε,

у = а + bх + с х ² +dx ³ + ε,

· равносторонняя гипербола –

Нелинейная регрессия по включенным переменным определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов(МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у = а ₀ + а ₁ х + а ₂ х ² + ε,

заменяя переменные х ₁= х, х ₂= х ²,получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у = а ₀ + а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ + ε,

для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу

.

Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив на z,получим линейное уравнение регрессии y = a +bz+ ε,оценка параметров которого может быть дана МНК.

Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.