Двухшаговый МНК

Структурная форма модели содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные – это взаимозависимые переменные Y, которые определяются внутри модели (системы). Их число равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные – это независимые переменные X, которые определяются вне системы.

Предопределённые переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные.

Коэффициенты a и b при переменных называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под X подразумевается , а под Y – соответственно . Поэтому свободный член в каждом уравнении отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов даёт смещённые и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели эта структурная форма преобразуется в приведённую форму модели.

Приведённая форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных y_i от экзогенных переменных x_i:

где δ_ij – коэффициенты приведённой модели.

По своему виду приведённая форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить δ_ij, а затем оценить значения эндогенных y_i переменных через экзогенные x_i.

Коэффициенты приведённой формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это на простом примере. Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида

(10.2)

приведённая форма модели имеет вид

(10.3)

в которой из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Приравнивая правую часть этого выражения к правой части второго уравнения системы (2) получим

.

Приведя это равенство к общему знаменателю, имеем

После приведения подобных членов получим

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной модели в виде уравнения приведённой модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

идентифицируемые;

неидентифицируемые;

сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.