Cоотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки.
Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и др.
Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.
Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.
Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, нелинейные по переменным, так и нелинейные по параметрам.
|
|
Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.
Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели
, i=1, …, n,
то, вводя новые переменные Z1=x12, Z2 = , получим линейную модель
, i=1, …, n,
параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.
Следует, однако, отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок b получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. В известном учебнике по эконометрике [26] все нелинейные регрессии делятся на два класса:
1) регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:
полиномы разных степеней
;
равносторонняя гипербола
;
2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
степенная ;
показательная ;
экспоненциальная .
Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модель.
|
|
Оценка параметров нелинейной регрессии по объясняющим переменным (первого класса) проводится также методом наименьших квадратов, так как эти функции линейны по параметрам.
Для любого полинома (многочлена) к-го порядка
,
с помощью замены переменных x1 = x, x1 = x2, …, xk = xk получим линейную модель множественной регрессии
.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с её методами оценивания и проверки гипотез.
(ВНИМАНИЕ. ВТОРОЙ ПОДХОД МЫ БЛЯДЬ ДАЖЕ ПРИМЕРНО НЕ ИЗУЧАЛИ)
Рассмотрим теперь, как в MS EXCEL можно быстро построить модели парных нелинейных регрессий. Покажем это на данных примера 1.
Шаг 1. Сначала построим диаграмму (например, точечную или график) зависимости между Y и X.
Рис. 4.1. Построение диаграммы (точечной) зависимости между Y и X
Шаг 2. Устанавливаем точку мыши на одну из помеченных точек диаграммы, чтобы все точки зажглись жёлтым цветом. И тут же нажимаем на правую кнопку мыши. Возникнет окно диалога, в котором четвёртой строкой является фраза «Добавить линию тренда» (см. рис.4.2.). Левой кнопкой мыши выбираем эту четвёртую строку.
Рис. 4.2. Окно диалога при построении разных видов регрессии
Шаг 3. В появившемся окне диалога выберите тип зависимости между Y и X, например, логарифмический (см. рис. 4.3).
Рис. 4.3. Выбор нужной зависимости
Шаг 6. Выбираем закладку «Параметры» и устанавливаем левой кнопкой мыши флажки «Показывать уравнение на диаграмме», а также «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» (см. рис. 4.4).
Рис. 4.4. Установление флажков на закладке «Параметры»
Шаг 5. Нажмите «ОК». Получите диаграмму выбранной зависимости, изображённой на рисунке 4.5.
Рис. 4.5. Построение логарифмической зависимости между факторами Y и X
Замечание 1. Для аппроксимации исходных данных другой зависимостью между Y и X, начните с шага 1. Не забудьте после построения очередной зависимости перетащить полученную диаграмму на другое место, потому что MS EXCEL будет помещать диаграммы на одно и то же место на листе EXCELа.
Определение коэффициента детерминации:
. (5.11)
Общая сумма квадратов отклонений = | Сумма квадратов отклонений, объяснённая дисперсией (факторная) - SS регрессия | Остаточная сумма квадратов отклонений - SS остаток |
R^2 = 1 - S^2ост/S^2общ = S^2факт/Sобщ
rxy – выборочный коэффициент корреляции, определяемый следующим образом:
(3.21)
и являющийся показателем тесноты связи между факторами x и y.
Здесь и – выборочные среднеквадратические отклонения случайных величин Х и Y, соответственно. Далее, эти величины будем обозначать как и . Таким образом, коэффициент регрессии пропорционален ковариации и коэффициенту корреляции, а коэффициенты пропорциональности служат для соизмерения перечисленных разномерных величин.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Этот коэффициент характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
. (3.22)
Соответственно, величина 1- характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтённых в модели факторов.