Пример 3

По данным табл. 3.1: 1) оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м;

2) найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт;

3) найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии β₁ и дисперсии σ².

Решение. Уравнение регрессии Y по X (пример 3.1): .

1. Оценим условное математическое ожидание M_x₌₈(Y).

(т).

Составим таблицу (табл. 3.2) с учетом того, что (м), а значения определяются по полученному уравнению регрессии.

Таблица 3.2

X_i											∑
	1,96	2,56	6,76	0,16	1,96	1,96	0,16	0,16	1,96	6,76	24,40
	5.38	8.43	9,44	6,39	5.38	5,38	6,39	6,39	5,38	9,44	−
	0.14	2,48	0,31	0,37	0,14	0,39	0,15	1,94	0,39	2,08	8,39

по (3.26): ,

по (3.33)

и (т)

По табл. Стьюдента (приложений) .

по (3.34) искомый доверительный интервал

или (т)

Итак, средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 4,38 до 6,38 т.

2. доверительный интервал для индивидуального значения .

по (3.35):

и (т)

по (3.36):

Таким образом, индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,81 до 7,95 т.

3. Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра. По (3.38)

или 0,537 ≤ β ₁ ≤ 1,495, т. е. с надежностью 0,95 при изменении мощности пласта X на 1 м суточная выработка Y будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,537 до 1,495 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра σ².

Учитывая, что = 1−0,95=0,05, найдем по таблице III приложений

формуле (3.39)

или , и .

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,598 до 4,81, а их стандартное отклонение − от 0,773 до 2,19 (т).

Множественный регрессионный анализ

4.1. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии

модель множественной линейной регрессии:

, (4.1)

Введем обозначения: – матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной.

– матрица значений объясняющих переменных, или матрица плана размера

– матрица-столбец, или вектор, параметров размера

– матрица-столбец, или вектор, возмущений (случайных ошибок, остатков) размера .

в матричной форме модель (4.1) примет вид:

(4.2)

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

, (4.2)'

Где , .

4.2. Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов

Система нормальных уравнений в матричной форме для определения вектора :

. (4.5)

(4.6)

Матрица есть вектор произведений наблюдений объясняющих и зависимой переменных:

. (4.7)

Решением уравнения (4.5) является вектор

, (4.8)

где – матрица, обратная матрице коэффициентов системы (4.5), – матрица-столбец, или вектор, ее свободных членов.

Зная вектор , выборочное уравнение множественной регрессии представим в виде:

(4.9)

где – групповая (условная) средняя переменной при заданном векторе значений объясняющей переменной

Пример 4.1. Имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего (т), мощности пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

Таблица 4.1

Предполагая, что между переменными , и существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии no и ).

Решение. Обозначим

(в матрицу вводится дополнительный столбец чисел, состоящий из единиц).

Таблица 4.2


										5,13	0,016
										8,79	1,464
										9,64	1,127
										5,98	1,038
										5,86	0,741
										6,23	0,052
										6,35	0,121
										5,61	0,377
										5,13	0,762
										9,28	1,631
										-	6,329

(см. суммы в итоговой строке табл. 4.2);

Матрицу определим по формуле где – определитель матрицы ; присоединенная к матрице . Получим

(самостоятельно).

Теперь в соответствии с (4.8) умножая эту матрицу на вектор

получим .

С учетом (4.9) уравнение множественной регрессии имеет вид: .

На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности :

; (4.10)

. (4.11)

Стандартизованный коэффициент регрессии показывает, на сколько величин изменится в среднем зависимая переменная при увеличении только -й объясняющей переменной на , а коэффициент эластичности – на сколько процентов (от средней) изменится в среднем при увеличении только на 1%.