Коэффициенты частной корреляции, техника их расчета в двухфакторной модели

Частный коэффициент корреляции оценивает взаимосвязь между результативной переменной и одной из факторных переменных при постоянном значении остальных факторных переменных, включенных в модель регрессии.Рассчитаем частные коэффициенты корреляции на основе линейной модели регрессии с двумя факторными переменными.Общий вид модели двухфакторной регрессии:

y_i=β₀+β₁x_i+β₂z_i+ε_i,

где yi – результативная переменная, ; x_i – первая факторная переменная;

z_i – второй факторная переменная; β₀, β₁, β₂ – неизвестные коэффициенты модели регрессии; ε_i – случайная ошибка модели регрессии.

Частные коэффициенты корреляции позволяют оценить степень зависимости между результативной переменной y_i и первой факторной переменной x_i при постоянном значении второй факторной переменной z_i, и наоборот. Такие частные коэффициенты корреляции называются коэффициентами первого порядка, потому что исключается влияние только одной факторной переменной. Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством переменных, влияние которых исключается.

Коэффициент частной корреляции между результативной переменной и факторной переменной при постоянном значении факторной переменой рассчитывается по формуле:

где – обычные парные коэффициенты корреляции.

Коэффициент частной корреляции между результативной переменной y _i и факторной переменной z_i при постоянном значении факторной переменной x_i рассчитывается по формуле:

где – обычные парные коэффициенты корреляции.

Если частный коэффициент корреляции малозначим или он незначим (незначимо отличается от нуля), то можно сделать вывод, что связь между исследуемой факторной переменной и результативной переменной либо очень слаба, либо совсем отсутствует, поэтому данную факторную переменную можно исключить из модели регрессии без ущерба для ее качества.

Частный коэффициент корреляции позволяет оценить степень зависимости между первой факторной переменной x_i и второй факторной перeменной z_i при постоянном значении результативной переменной y_i:

где – обычные парные коэффициенты корреляции.

Частный коэффициент корреляции считают более важным, чем частичный коэффициент корреляции.

№22 Оценка значимости уравнения множественной регрессии

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

, где

Dфакт - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

Dост - остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

R2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации;

m – число параметров при переменных х

n – число наблюдений.

Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. Предположим, что оцениваем значимость влияния х1 как дополнительно включенного в модель фактора. Используем следующую формулу:

, где

- коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов;

- тот же показатель, но без включения в модель фактора х1;

n – число наблюдений

m – число параметров в модели (без свободного члена).

Если оцениваем значимость влияния фактора хn после включения в модель факторов x1,x2, …,xn-1, то формула частного F-критерия определится как

В общем виде для фактора xi частный F-критерий Фишера определится как

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным при 5%-ном или 1%-ном уровне значимости и числе степеней свободы: m и n-m-1. Если Fфакт>Fтабл(a,n,n-m-1), то дополнительное включение фактора xi в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим. Если же Fфакт<Fтабл(a,n,n-m-1), то дополнительное включение фактора xi в модель существенно не увеличивает долю объясненной вариации признака y, следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

С помощью частного F-критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор xi вводился в уравнение множественной регрессии последним.

Если уравнение содержит больше двух факторов, то соответствующая программа ПК дает таблицу дисперсионного анализа, показывая значимость последовательного добавления к уравнению регрессии соответствующего фактора. Так, если рассматривается уравнение

y=a+b1x1+b2x2+ b3x3+ε,

то определяются последовательно F-критерий для уравнения с одним фактором х1, далее F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х2, т.е. для перехода от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3 после включения в модель фактора х1 и х2. В этом случае F-критерий для дополнительного включения фактора х1 после х2 является последовательным в отличие от F-критерия для дополнительного включения в модель фактора х3, который является частным F-критерием, ибо оценивает значимость фактора в предположении, что он включен в модель последним.