Простые задачи, связанные с рассзютренпем пропорциональных величин

- Речь дщет о задачах вида: «В буфет привезли 3 ящика яблок по 8 кг а каждом. Сколько килограммов яблок привезли?» Или: лОдин карандаш стоит 8 коп. Сколько таких карандашей можно купить на 16 коп.?»; В связи с изучением умножения и деления решается много Этаких задач. Работа над ними должна быть использована для того, чтобы постепенно подвести детей к обобщению и осознанию связи, существующей между ценой, количеством и стоимостью, между массой одного предмета, числом таких предметов, общей их максой и т, п. К концу второго года обучения дети должны уметь объяснить, как может быть найдена, например, цена, если известны стоимость нескольких предметов и число их ^.исполь­зованием этих терминов).

Чтобы подвести- детей к этих! обобщениям, полезно с самого начала приучить их кратко записывать задачи этого вида в таб- 'лице (по образцу, данному в учебнике). Прежде чем решить та­кую задачу, следует каждый" раз, повторяя ее условие, вводить такие термины: «цена», «количество», «стоимость», «расход ма­терии на одну вещь», «число вещей», «общий расход материи» и т. п. Например, в задаче сообщено: «На 10 коп. купили конвер­ты по 5 кон. за конверт. Сколько конвертов купили?» Дети долж­ны уточнить, чти известно: 10 коп. в этой задаче — стоимость куп­ленных концертов, 5 коп. — цена конверта, а нужно узнать число купленных конвертов.

8*

Пдсле этого выясняется, как найтп число купленных конвер­тов, если известны цена и стоимость. Сколько раз по 5 коп. мож­но заплатить, имея 10 коп.? Как это узнать? Как же узнать ко­личество, зная цену и стоимость^ (Стоимость разделить на цену.)

Дети решают такие задачи, составляют и решают задачи, об­ратные данной, и постепенно усваивают связь между соответст­вующими величинами.

РАБОТА НАД СОСТАВНЫМИ ЗАДАЧАМИ НОВЫХ ВИДОВ

После того как в. самом начале изучения темы «Сотня» дети познакомились с первой составной задачей, работа над ними все время продолжается, причем сложность рассматриваемых задач постепенно возрастает.' Возрастают и требования, которые предъяв­ляются к умению прочитать и понять предложенную задачу, разобраться в том, что в ней известно и что является искомым.

Дети знакомятся с различными приемами, помогающими в проведении такого анализа текста (составление по задаче ри­сунка, чертежа, краткой записи ее). Каждый раз, когда рассмат­ривается задача новой для учащихся математической структу­ры, эти вопросы, естественно, оказываются более трудными, и обычно сначала учителю приходится руководить соответствую­щей работой учащихся, помогая им выбрать наиболее подходя­щую форму иллюстрации, краткой записп и др. Во всех этих случаях важно, чтобы демонстрация, иллюстрация, составление чертежа пли краткая запись задачи выполнялись по ходу разбо­ра ее, а не предлагались учителем в готовом виде. Только в этом случае все эти приемы могут оказаться действенным средством, оказывающим реальную помощь в деле обучения детей самостоя­тельному решению задач.

Главным и наиболее ответственным моментом при решении составной задачи является умение наметить путь ее решения. Выше (§ 21) уже говорилось о том, что для составления плана решения необходимо сначала разобрать эту задачу, установить связи, существующие между известными в задаче величинами и искомой. Такой разбор можио вести, отправляясь как от во­проса" задачи, так и от ее данпых, путь рассуждений ъ^-ак в том, так и в другом случае будет аналитико-синтетпческим в том смыс­ле, что все время будет соотноситься то, «что можно узнать», с тем, «что нужно узнать», для решения задачи, и наоборот.

Приведем образцы разбора составных задач, типичных для тех, которые представлены в учебнике для II класса в теме«Сотня».

«Для украшения елки мальчики вырезали 28 красных флаж­ков и 10 зеленых, а девочки вырезали 40 голубых флажков. На сколько флажков больше вырезали девочки?» (М. 2, задача № 207, с. 37).

Начнем ~разбор, отправляясь от данных. В задаче сказано, что мальчики вырезали 28 красных флажков и 10 зеленых. Что можно узнать по этим данным? Ответ может быть таким: «Мож­но узнать, сколько флажков они всего вырезали, можно узнать на сколько они больше вырезали красных флажков, чем зеленых, или на сколько меньше зеленых, чем красных». Чтобы наметить

ПЛаи решения задачи, необходимо обратиться к вопросу ее, что­бы выяснить, что именно нужно узнать по выделенным данным, Чго может помочь в решении данной задачи. В задаче сираши- ниотся, на сколько флажков больше вырезали девочки, чем маль­чики; значит, надо сравнить число флажков, вырезанных девоч­ками и мальчиками, и полезно знать, сколько всего флажков вы­резали мальчики. Зная это и зная из текста задачи, что девочки вырезали 40 флажков, можно будет уже сразу узнать, на сколько девочки вырезали больше флажков, чем мальчики. Разбор на отом можно считать законченным и перейти к составлению пла­на решения: сначала урнаем, сколько всего флажков вырезали мальчики. (Для этого нужно найти сумму 28 и 10.) Затем, вто­рым действием, можно ответить на вопрос задачи.(нужно полу-. пенную сумму вычесть из 40.)

да. Разбор той* же задачи можно было бы провести, отправляясь от ее" вопроса. Повторяем, что в задаче спрашивается, на сколько флажков больше вырезали девочки. Ставим вопрос: «Что для этого нужно знать?» (Нужно знать, сколько флажков вырезали девочки и сколько мальчики.) Обращаясь снова к условию зада­чи, выясняем, что число флажков, вырезанных девочками, извест­но (40), а число флажков, вырезанных мальчиками, неизвестно, но его можно узнать по имеющимся данным (поскольку извест­но, что они вырезали 28 красных и 10 зеленых флажков). Далее от,: разбора переходим к составлению плана решения и его осу­ществлению.

1 Оформление решения задачи может быть выполнено либо с составлением по задаче выражения (а), либо по действиям (б):

а) 40 - (28 + 10) = 2 (фл.), б) 1) 28 + 10 = 38 (фл.),

2) 40 — 38 = 2 (фл.).

Ответ: на 2 флажка больше.

Разберем еще одну задачу: «Группа экскурсантов размести­лась в 2 катерах, по 6 человек в каждом, и в 2 лодках, по 4 чело­века. Сколько всего человек было в группе?» (М. 2, № 588).

Вопросы при разборе, исходящем от данных: «Что можно узнать, зная, что в двух катерах разместились по 6 человек в каждом?»; «Поможет ли это решению и почему?»; «Что можно узнать, зная, что в 2 лодках разместились по 4 человека в каж­дой?»; «Можно ли будет после этого ответить на вопрос задачи?»

Вопросы при разборе, исходящем от искомого: «Из каких ча­стей состояла группа, численность которой нужно узнать?» (Лю­ди, разместившиеся в катерах, и люди, разместившиеся в лод­ках.) «Известно ли число людей, разместившихся в катерах?»; «Мож­но ли узнать это число по имеющимся в условии данным?» И т. д.

Решение может быть записано в виде выражения, которое составляется после того, как намечен план решения:

6 - 2 + 4 • 2 = 20 (ч.)

(Отметил кстати, что перестановка множителей в произведениях 6 • 2 и 4 • 2 не является ошибкой в решении задачи, поскольку дети знакомы.уже с переместптельным свойством произведения.)

При решении составных задач, в которых речь идет о пропор­циональных величинах, полезно выполнять краткую запись в виде таблицы такого вида, какие представлены на страницах учебника (с. 73, 118 и др.). Заполнение таких таблиц по ходу анализа текста задачи помогает в дальнейшем установить связь между искомым и данными, способствует, кроме того, усвоению детьми соответствующих понятий (цена, количество, стоимость и др.), связи, существующей между этими величинами. Разбор. задачи после составления краткой записи задачи в таблице так­же выполнить значительно легче. Запись в таблице помогает организовать работу по составлению задач, обратных данным, способствуя рассмотрению связей между темп же величинами при решении новой задачи.

Рассмотрим для примера ход работы над задачами с пропорци­ональными величинами, встречающимися в учебнике II класса.

Вот одна из таких задач: «4 конверта стоят 28 коп. Сколько стоят 6 таких конвертов?» (М. 2, № 492).

При повторении задачи выясняется, что в задаче известны количество конвертов (4 конверта), пх стоимость — 28 коп. Тре­буется узнать стоимость 6 таких конвертов. Такпм образом уже при повторении задачи вводятся термины «стоимость», «количе­ство». Опираясь на знания, приобретенные детьми при решении простых задач, вспоминаем, что.стоимость можно узнать, если ' известны количество предметов и цена каждого из них. Учитель предлагает записать задачу в таблице с графами «Цепа», «Коли­чество», «Стоимость».

Сначала в таблицу заносятся данные задачи — в одной строке: 4 шт. (в графе «Количество») п 28 коп. (в графе «Стоимость»), во второй строке — 6 шт. (в графе «Количество»). Затем с помощью вопросительного знака обозначается то, что требуется узнать, — стоимость 6 конвертов. Затем ставится вопрос: «Что известно о цене конвертов?». Это очень важный вопрос, без ответа на который задача решена быть не может. Выясняется, что цена конвертов в задаче-не указана, но говорится о стоимости таких же,конвертрв, что эти слова следует понимать так, что речь идет о конвертах, одинаковых по цене. После этого в таблице, в графе «Цена» запи­сывается между первой и второй строкой слово «одинаковая». Таблица примет вид:

Цета	Количество	Стэемость
Одинаковая	4 шт. 6 шт.	28 коп. ? - '

Повторив задачу по таблице, приступаем к ее разбору. Раз­бор может быть начат с вопроса задачи, но может быть проведен и отправляясь от данных. В первом случае выясняется прежде всего, что нужно знать, чтобы узнать стоимость 6 конвертов. (Для этого нужно знать цену одного конверта.) Затем, обращаясь К условию, устанавливаем, что цена конвертов в условии не ука­зана, по ее можно узнать, так как известно, что 4 конверта стоят 28 коп. Для этого нужно стоимость 28 коп. разделить на количе­ство конвертов (4). Проведя такой разбор, можно составить план решения: сначала узнаем цену (28:4) коп., а затем стоимость 6 конвертов, для.чего найденную цену умножим на 6. Намечен­ный план решения фиксируется составлением выражения: (28: 4) ■ 6.

Разбор задачи можно было провести и так: констатируем, что 'из условия задачи известна стоимость 4 конвертов, выясняем, что можно узнать по известным стоимости и количеству — можно узнать цену, как это сделать — нужно стоимость разделить на количество. Поможет ли это решить задачу? Обращаясь к вопросу задачи, вспоминаем, что нужно узнать стоимость 6 конвертов. Если будет известна цена одного конверта, то по цене и количе­ству можно будет узнать стоимость. Проведенный разбор, как и в первом случае, завершается составлением плана решения и соответствующего выражения. Дальнейшая работа над задачей сводится к тому, чтобы вычислить значение составленного выра­жения и дать ответ на вопрос задачи. Чтобы проверить правиль­ность решения, в этом случае полезно составить задачу, обрат­ную данпой. Например, такую: «6 конвертов стоят 42 коп. Сколь­ко стоят 4 таких конверта?» Решая эту задачу, дети повторят все те рассуждения, которые проводились при решении предыдущей, вспомнят те же зависимости между величинами и вместе с тем проверят правильность решения (если получится, что 4 конверта стоят 28 коп., значит, задача была решена верно).

Отметим, что описанный ход работы над задачами такого вида пи в коем случае не должен стать образцом для решения каждой следующей задачи. Так, довольно скоро можно отказаться от за­писи задачи в виде таблицы, заменив ее более простой записью вида:

4 шт. — 28 коп.

6 шт. —?

При этом сначала можно записать «Цена одинаковая», а потом можно отказаться и от этого, ограничившись устным пояснением. С течением времени (а для некоторых учащихся и после решения первой же задачи такого вида), возможно, отпадет вообще необхо­димость в краткой записи задачи. Было бы лишней тратой времени требовать ее выполнения и в том случае, когда ход решения ясен ученику сразу же, после прочтения задачи.

Различны могут быть и формы записи решепия. Приведем их образцы:

1. С составлением выражения: 2. С составлением уравнения:

28: 4 - 6 = 42. ж = 28: 4 • 6

Ответ: 42 когг. * х = 42

Ответ: 42 коп.

3. С записью отдельных действий: _%

1) 28: 4 = 7 (коп.)

2) 7 • 6 = 42 (коп.) О т в е т: 42 коп.

Если учитель не оговорил специально, как должно быть оформ­лено решение задачи, то ученик вправе воспользоваться любой из этих форм записи.

Помимо этих наиболее лаконичных форм записей, могут также (но не слишком часто!) использоваться и более пространные за­писи либо с краткими пояснениями, показывающими, что узнали каждым действием, либо с записью вопросов, также уточняющих, что будет найдено в результате выполнения того или иного дей­ствия.

Запись решения с краткими пояснениями выглядела бы в этом случае так:

1) 28: 4 — 1 (коп.) — цепа 1 конверта

2) 7 • 6 = 42 (коп.) — стоимость 6 конвертов. Ответ: 42 коп.

С записью вопросов ученик решит эту задачу так:

1) Сколько стоит 1 конверт?

28:4 = 7 (коп.)

2) Сколько стоят 6 конвертов?

7 • 6 = 42 (коп.)

Ответ: 42 коп.

В процессе обучения решению задач можно использовать все эти формы записи с учетом особенностей самой задачи и уров­ня подготовки учащихся. Однако предпочтение следует все же отдавать более кратким из них и в особенности составлению выражения по задаче или составлению уравнения. Нельзя забы­вать о том, что соответствующие требования зафиксированы в самом тексте программы.

Вместе с тем по отношению к ряду задач решение по действи­ям окажется единственно возможным. Это задачи, в которых требуется сравнить два числа в разностном или кратном отноше­нии, причем не указано, которое из неизвестных чисел больше (меньше). Например: «На корм для кур за месяц израсходовали 30 кг зерна, а для уток 40 кг. На одну курицу расходовали в месяц 3 кг зерна, а на одну утку 5 кг. Кого~было больше: кур или уток — и на сколько?» Ясно; что для решения этой задачи нужно сначала узнать, сколько было кур и сколько было уток, и только после этого ыожпо будет сравнить найденные числа. Решение должно выполняться по действиям, составить сразу вы­ражение нельзя.

*у\Составные задачи в учебниках предлагаются наряду и в срав­нении с задачами простыми, прпчем и те и другие даются рассре- дбточенно во времени, так, что задачи одного и того же вида не встречаются в большом числе подряд. Это создаёт условия для того, чтобы каждый раз, приступая к решению новой задачи, ученик пытался разобраться в ней, отправляясь от анализа ее текста, доискиваясь смысла содержащихся в ней указаний, а не пытался лишь припомнить способ решения задачи, аналогичной данной и решавшейся с помощью учителя.

МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ С ПРИМЕРАМИ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ

В теме «Многозначные числа» рассматриваются примеры за­висимости между величина™. По этому поводу объяснительная записка к программе^[1] дает достаточно точную и важную уста­новку: «При изучении величин рассматриваются способы их измерения, соответствующие единицы измерения, связь между величинами, зависимость между ними, которая в конечном счете выражается таблично, а иногда (в более простых случаях) и с помощью формул».

Основной методический аппарат, с помощью которого проис­ходит ознакомление учащихся со взаимосвязью между величи­нами, представляет собой подбор задач и примеров, которые их раскрывают. Для определения соответствующей методики сле­дует также иметь в виду указание, что «первоначальное озна­комление детей с разного рода зависимостями очень важно для установления причинной связи между явлениями окружающей действительности и имеет большое значение для подведения де­тей к идее функциональной зависимости». Заметим, что в этом случае речь идет о зависимости между двумя (а не тремя) ве­личинами, например между путем, пройденным телом, п време- пем, затраченным на прохождение этого пути (здесь скорость величина постоянная). В этом случае мы имеем дело с тремя множествами: 1) множеством значений такой величины, как вр > мя движения; 2) множеством значений длины (пути, пройденного за различные промежутки времени) и 3) множеством пар, в ко­торых на первом месте стоит значение времени, а на втором — соответствующее одно значение пути. В таком случае, действи­тельно, формируются определенные функциональные предстап- ления^[2]. Причем эта функция может быть задана, например, таб лицей:

Время в се­кундах		2				. 6
Расстояние с метрах

из которой можно сделать выводы, что тело двигалось неравно­мерно, в частности в течение одной секунды (пятой) оно было не­подвижно, что формулой эту зависимость выразить нельзя. Иног­да в более простых случаях зависимость между временем движе­ния и пройденным за это время путем можно выразить и с помощью формулы.

Например, наблюдая изменения расстояния s в зависимости от времени t по таблице:

Время в часах
Расстояние в километрах

нетрудно заметить, что v == s: t.

На основании полученной закономерности можно, например, выяснить, какое расстояние s пройдет тело за 10 ч (50 км), за какое время t тело пройдет расстояние в 100 км (20 ч) и т. д.

Для ознакомления детей с примерами зависимости между величинами следует брать такие примеры, которые достаточно часто встречаются детьми в жизни, понятны им.

Прежде чем ознакомить школьников с примерами зависимо­сти, которая может быть выражена формулой, следует рассмот­реть, например, зависимость массы ребенка "от его возраста. Де­ти понимают,' что по мере пх роста увеличивается их масса (ис­ключение составляет случай заболевания: во время болезни дети

[иногда худеют). Данные об изменении массы в зависимости от [возраста дети узнают при медицинских осмотрах в школе, п ПИ«щерском лагере. Учитель рассказывает: «В нашей поликлинике я получил такие данные о мальчике Вове»: Возраст в годах               Масса в килограммах             23-

По этим конкретным данным можно установить, что, чем Цстарше (становился Вова, тем больше становилась его масса, что Рза год (от 1 до 2 лет) она увеличилась на 3 кг, а на следующий Ц;Тод — на 2 кг и т. п.

К К сожалению, в практике обучения редко рассматриваются Цтакие примеры и все внимапие концентрируется на случаях за- квисимости, которые в математике называют прямой и обратной ^ пропорциональной зависимостью. Здесь допускается ряд ти- [* "ничных ошибок, вызывающих перегрузку учащихся. Главная i _; из них — подробное рассмотрение характера изменения одной из ^связанных между собой величин при изменении другой (когда ^ третья остается постоянной).

Это рассмотрение часто имеет целью заучивание. Дети раз- | учивают, например, такие правила: «При одинаковой цене с р увеличением количества в несколько раз стоимость увеличива- | ется во столько же раз». «Если цена не изменяется, то с увели- I чением стоимости в несколько раз во столько же раз увеличива- I ется количество» и т. п.

В некоторых случаях учителя добиваются от учащихся III класса понимания того или иного случая пропорциональной зависимости, используя при этом соответствующую терминоло­гию. Все это прямое завышение программы, ибо программа III класса не ставит задачи сформировать у детей понятия о пропорциональной зависимости. Преждевременно полученные при.этом обобщения неполны, случайны и могут мешать в даль­нейшем формпрованпю понятия пропорциональной зависимости на функциональной основе (это задача следующих лет обуче­ния).

Ошибку допускают и те учителя, которые знание связи между величинамп (цена, количество, стоимость и др.) рассматривают в качестве основы для решения хорошо известных учащимся за­дач. Например, при решении задачиг «Сколько стоят 6 м ткани ценою по 4 руб. за метр?» — в первую очередь должен исполь­зоваться здравый смысл.

Опираясь па имеющийся у них опыт, ученики будут рассуж­дать так: «4 руб. стоит каждый метр ткани. Всего 6 м. Чтобы

узнать, сколько стоит вся ткань, надо по 4 руб. взять 6 раз, или 4 • 6».

После того как задача решена (а не до этого), полезно выяс­нить, что нужно было узнать (стоимость), что было известно (цена и количество), посмотреть по решению, как узнали стои­мость через количество и цену.

Определяя правильную методику изучения вопроса програм­мы «Примеры зависимости между величинами», учитель должен помнить^ что это делается распределение fa не на одном-двух уроках) в связи с решением задач. В связи с изучением темы «Умножение и деление многозначных чисел» появляется возмож­ность обнаружить некоторые постоянные для рассматриваемых величин закономерности.

Важным результатом ознакомления учащихся III класса с этим вопросом является усвоение простейших формул, связыва­ющих такие величины, как скорость, время и расстояние (v, t, s); длина, ширина и площадь прямоугольника (а, Ъ, S).

Рассмотрим для примера основные пути усвоения зависимо­сти между величинами, характеризующими равномерное движе­ние (зависимость между величинами, связанными с площадью прямоугольника, рассматривается в § 54).

На рассмотрение связи между скоростью, временем и рас­стоянием выделяется 4—5 уроков в начале изучения умножения и деления многозначных чисел. Полученные сведения системати­чески используются в дальнейшем при решении задач «на дви­жение» в течение всего учебного года.

В результате рассмотрения этих вопросов ученик должен по­лучить представление о новой величине — скорости, которая ха­рактеризуется расстоянием, проходимым в единицу времени. Подчеркивается, что речь идет о таком движении, при котором скорость не изменяется. Раскрывается связь между скоростью, расстоянием и временем (при равномерном движении) в виде формулы v — s: t, где s — пройденное расстояние, v — скорость движения, t — затраченное время. Дети учатся решать задачи, в которых по времени и скорости находится путь; по времени и пути находится скорость; по скорости и пути находится время.

В ходе решения этих задач у учащихся формируются пред­ставления о некоторых средних скоростях (пешехода, велосипе­диста, автомобиля, теплохода, самолета), представления о встреч­ном движении и о движении в одном и том же направлении. На этой основе дети должны уметь решать простые и несложные составные задачи.

На первом из уроков необходимо, опираясь на жизненный опыт и наблюдения учащихся, обратить внимание детей на то, что некоторые предметы могут двигаться быстрее или медленнее. Например, велосипедист может обогнать пешехода, автомобиль — велосипедиста, самолет — автомобиль и т. д. Предметы могут двигаться равномерно. Так, например, пешеход может прохо­дить за каждый час по 3 км; автомобиль может проезжать за каж­дый час по 100 км, бегун может пробегать за каждую секунду по 8 м и т. д. В этом случае говорят, что скорость (соответственно) пешехода — 3 км в час (записывают — 3 км в час), автомобиля — '100 км в час (100 км в час), бегуна — 8 м в сек (8 м в сек). Таким образом, скорость движения — это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени. Затеи • рассматриваются простые задачи (типа № 300, 301, 302), на ос­новании которых делается вывод, что, для того чтобы найти ско-; рость движения предмета, нужно расстояние, которое прошел предмет, разделить на затраченное для этого время. Коротко этот I вывод можно сформулировать так: скорость равна расстоянию, р деленному на время. Если скорость обозначить буквой v, путь буквой s, а время буквой t, то можно записать этот вывод в виде ^; формулы: v = s: t.

На последующих уроках с помощью соответствующих про- I стых задач устанавливается, что расстояние равно скорости, Г умноженной на время: s — v • t.

На основе задачи № 316 устанавливается, что время равно расстоянию, деленному на скорость. Можно обратить внимание учащихся на связь между этими тремя формулами (например, последняя формула может быть выведена из первой: t = s: v) на основе правила нахождения неизвестного делителя v, когда из­вестно частное t и делимое s.

На этих 4—5 уроках до понимания учащихся должен быть доведен тот факт, что 5 м в минуту и скорость 5 км в час — не одно и то же. Необходимо рассмотреть, например, в связи с ре­шением задачи № 327, что скорость черепахи- (5 м в мин) со­ответствует 300 м час, а скорость пешехода (5 км в час) соот­ветствует 5 000 м в час: 5 000 > 300, поэтому 5 км в час > 5 м в минуту. Только на этой основе всегда в связи с решением задач в дальнейшем устанавливается, что при равномерном движении за одно и то же время тело пройдет тем большее расстояние, чем больше будет скорость (если скорость увеличить в несколько раз, то и расстояние увеличится во столько же раз), при одной и той же скорости расстояние уменьшается во столько же раз, во сколько увеличится время движения, и т. п.

Вопросы эти ставятся только в связи с решением задач, об­общенных словесных формулировок этого вида не требуется.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ В ТЕМЕ «МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА»

Решение текстовых задач включается как необходимый эле­мент в каждый урок, посвященный изучению многозначных чи­сел и действий над ними. Значительное число этих задач дает возможность наряду с практикой выполнения соответствующих вычислений применять изучение закономерности, правила в учебной, а иногда и практической деятельности третьеклассни­ков. Как мы отмечали, многие из задач используются в процессе формирования представлений о величинах, их измерений, о свой­ствах величин (§ 47, 50, 53, 54), в связи с расширением понятия числа (§ 56).

На основе полученных в I и II классах навыков решения про­стых задач, связанных с каждым из четырех арифметических действий, и первоначальных навыков решения задач в 2 дейст­вия в III и4 классе эти навыки получают свое дальнейшее раз­витие.

Методика обучения учащихся 4 класса решению задач в ос­новном повторяет или опирается на уже апробированные в I — II классах приемы и положения: а) опору на наглядность и по­нимание ситуации с помощью различного вида схем и краткой записи задачи (мы подчеркиваем важность применения различ­ных, а не стандартных, одних и тех же схем). Здесь могут приме­няться геометрические фигуры (отрезки, прямоугольники), клет­ки листа тетради и т.-п.; б) использование задач-вопросов, задач с неполными данными. Применение обратных задач — средство, помогающее уточнить соотношения между данными и искомыми, выявить условие и вопрос задачи. Оговорим сразу, что здесь мно­гие учителя чрезмерно усложняют такие упражнения, заставляя, например, формулировать все задачи, обратные данной составной (в 2 и более действий) задаче, — задание более чем сложное и не дающее заметного эффекта даже в случае его частичного выпол­нения,- приводящее к заметной перегрузке; в) использование со­ставления задач по данному выражению или уравнению, а также объяснений к выражениям и равенствам, составленным к данной, уже решенной задаче (например, № 277 и т. п.).

Как нами уже упоминалось (с. 264), следует избегать для обоснования выбора действия при решении задачи формальных знаний об изменении результатов действия в зависимости от из­менения одного из компонентов в тех задачах, которые просто решаются по здравому смыслу. Другими словами, надо всячески избегать заучивания каких-либо правил решения задач того или иного впда. В связи с этим не следует употреблять в обучении детей сведений о классификации задач, использовать в разгово­рено детьми такие еще бытующие в методических пособиях тер­мины, как: «Задачи на пропорциональное деление», «...на нахож­дение неизвестного по двум разностям», «... на деление на рав­ные части», «... на деление по содержанию» и т. п. Усвоение этих названий какой-либо классификации задач не является целью обучения детей в начальных классах, а потому учителя, которые требуют от них. соответствующих знаний, перегружают программу, значительно ее усложняют.

Следует также обратить внимание на особенности использо­вания при решении задач выражений и уравнений. Работа по составлению выражений является необходимым условием обуче­ния решению задач с помощью уравнений. В этом случае состав­ление выражений, "соответствующих отдельным частям задачи, является, как правило, задачей менее трудной, чем составление уравнения к этой же задаче. В то же время решение некоторых составных задач только с помощью составления выражения иног­да оказывается более трудным, чем решение той же задачи с по­мощью уравнения.

Это следует учитывать, исходя из анализа конкретного текста задачи, чтобы не создавать искусственно дополнительных трудно­стей для учащихся. По той же причине не следует также настаи­вать, как это иногда делается, на составлении «всех возможных уравнений» к данной задаче.

Часто полезнее давать свободу учащимся для выбора спосо­ба решения, каждый раз подчеркивать преимущества (или не­достатки) одного из них перед другими, не считать недочетом, если ученик выбрал «свой» путь решения, разумеется, кроме тех случаев, когда учителем или учебником заранее выдвинуты определенные требования в этом отношении.

Например, задача № 272 может быть решена детьми без по­мощи уравнения:

1) 40 — 28 = 12 (коп.) (стоимость трех карандашей);

2) 12: 3 = 4 (коп.) (стоимость одного карандаша).

Но не случайно здесь написано: «Эту задачу можно решить и уравнением». Отсюда следует, что после решения ее по дейст­виям целесообразно показать решение этой задачи с составле­нием по ней уравнения.

В некоторых случаях учебник включает задачи, формулиров­ка которых ориентирует детей на решение с помощью урав­нения. Такими задачами, например, являются № 270, 273 и т. п.

Рассмотрим некоторые из возможных рассуждений при реше­нии задачи № 273: «В швейной мастерской было 240 м ситца. Когда сшили несколько платьев, расходуя на каждое по 3 м ситца, то в мастерской осталось 90 м ситца. Сколько платьев сшили?»

После предварительного рассмотрения п решения задачи № 272 не обязательно проводить фронтальный разбор приведен­ной выше задачи. Целесообразнее с целью выявления различных путей рассуждения просить класс приступить к самостоятельно­му ее решению, подчеркнув, что решение должно быть выполне­но с составлением уравнения. Наблюдая за классом и обнару­жив, что большая часть учащихся уже составила уравнения, можно приостановить самостоятельную работу и попросить од­ного из нпх рассказать, как и какое уравнение он составил. Рас­смотрим возможные пути. Неизвестное — число сшитых платьев. Обозначим его буквой х. После этого возможны различные рас­суждения. Вот одно из них:

(3 • х) метров ситца израсходовали па платья.

(240 — 3-х) метров осталось. Так как осталось 90 м, то мож­но составить такое уравнение: 240 — 3 • х = 90.

А вот другое: (240 — 90) метров ситца пошло па платья. Зна­чит, 3 • х = 240 — 90. И наконец, третье рассуждение. Если 3 • х метров пошло на все платья, то (3 • х + 90) метров долишо со­ставлять количество всей ткани, бывшей в мастерской. Поэтому можно составить уравнение: 3 • х -f- 90 = 240.

Каждое из этих рассуждений полезно рассмотреть с учащи­мися, записать на доске соответствующие уравнения. После этого учащиеся продолжают прерванное решение задачи само­стоятельно тем способом, который избран каждым, или если ре­шение не было начато, выбирают один из предложенных спо­собов.

Из сказанного ни в коем случае не следует, что от учащихся можно (или даже нужно) требовать составления всех возмож­ных уравнений по одной и той же задаче.

При решении задачи № 359 (М. 3) рассматривается как ре­шение с помощью составления по задаче выражения, так и с помощью составления уравнения. Эта задача, конечно, могла бы быть решена и по действиям: 1) 15: 3 = 5 (руб.) — ценд одного мотка; 2) 5 • 6 = 30 (руб.) — стоимость синей шерсти.

В дальнейшем аналогичные задачи (№ 360, 361 и др.) не обя­зательно всегда решать с составлением уравнения. Наоборот, следует использовать при их решении и запись отдельных дейст­вий и составление выражения.

Методика обучения решению более сложных задач, где в ос­нове задачи лежит зависимость между двумя из трех величин (цена, стоимость, количество), связана с использованием схем, в частности краткой записи в виде таблицы. Совершенствова­ние умения решать такие задачи предусмотрено учебником. Здесь же постепенно формируется умение решать более сложные задачи «на движение».

Методика обучения решению задач «па встречное движение» основывается на четких представлениях учащихся о скорости равномерного движения, которые уточняются и обобщаются па специально отведенных этому вопросу уроках (§ 50). На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется -смысл слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных на­правлениях», «выехали одновременно из двух пунктов и встре­тились через...» и т. п.

После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач «в отрезках». Причем ста­раться соблюдать соотношения их длин в зависимости от скоро­стей и пройденных (в частности, «до встречи») расстояний. Если, например, скорость одного поезда была 60 км в час, а другого — 45 км в час, то первая стрелка должна быть длиннее второй и т. п.

^: Если в распоряжении учителя имеется диафильм «Задачи на дви­жение» (выпуск студии «Диафильм». М., 1970), то его можно использовать на этом уроке. Только после такой подготовительной. работы последовательно, под руководством учителя рассматрива- | ется задача № 464 (или ей подобная). Прежде чем разбирать эту задачу на уроке, следует повторить и восстановить в памяти, сле­дующие сведения: связь между скоростью, расстоянием и време­нем (как одна из трех величин выражается через две другие?), ситуацию, при которой «два пешехода одновременно вышли на­встречу...». Затем учащиеся под руководством учителя и при его участии вчитываются в задачу № 464 (1). По схеме, дублированной на доске, вызываемые учащиеся рассказывают содержание за­дачи. При этом выясняется: откуда начал движение каждый пе­шеход? С какой скоростью двигался каждый? Почему их место встречи на схеме обозначено ближе к месту выхода одного из пе­шеходов? Кого из них? Можно спросить при этом: «В каком случае флажок окажется точно на полпути (в середине, образно)? Что означают деления слева от флажка, справа от флажка? Почему они различны по длине? Что означают числа над стрелками?»

Такое подробное рассмотрение учит детей «читать» схему.

Затем учитель может спросить у класса: «Как решить задачу?»

Возможно, один из учеников приведет примерно такое рассуж­дение: «Один пешеход до встречи (до флажка) прошел 4 • 3 = = 12 (км), а другой — 5 • 3 = 15 (км). Расстояние между селами будет 12 + 15 = 27 (км)».

Если такого ученика не нашлось и предложения детей неполны пли неверны, то учитель проводит, пользуясь наводящими вопро­сами, эту работу с классом, постепенно подводя его к составле­нию по задаче выражения:

4-3 + 5-3 (км).

Найдя значение этого выражения, получим ответ: расстояние между селами равно 27 км.

В связи с нашей задачей учитель должен провести специаль­ную работу, на основе которой будет выявлен смысл понятия «скорость сближения».

Для этого по схеме выясняется, что за каждый час пешеходы сближаются на (4 + 5) км в час. «На сколько километров сбли­зятся пешеходы за 3 ч?» Это дает нам второй путь решения зада­чи! (4 + 5) • 3.

Затем, пользуясь схемами, подробно рассматривают задачу № 464 (3).

Задачу № 464 (2), как более сложную и опирающуюся на по­нятие «скорость сближения», можно рассмотреть в заключение урока, когда дети уже приобретут некоторый опыт решения по­добных задач.

При рассмотрении задачи № 464 (3) можпо пойти по пути со­ставления уравнения. Если обозначить скорость второго пешехода

буквой х, расстояние, которое он пройдет до встречи, будет (3 X X х) км; расстояние, которое пройдет первый пешеход до встре­чи, будет (4 • 3) км. Общее расстояние, пройденное пешеходами до встречи, будет (4 • 3 + 3 • z) км, и оно равно 27 км. Получаем уравнение: 4 • 3 + 3 • х = 27.

Эту же задачу можно решить и по действиям!

1) 4 • 3 = 12 (км) прошел до встречи первый пешеход;

2) 27 — 12 = 15 (км) прошел до встречи второй пешеход;

3) 15:3 = 5 (км в час) скорость, с которой шел второй пеше­ход, и только теперь целесообразно составить выражение к этой задаче: (27 — 4 • 3): 3.

В дальнейшем прн решении подобных задач можно использо­вать как запись отдельных действий, так и составление уравне­ния или выражения.

На следующих уроках продолжается работа по формированию и совершенствованию навыков решения задач «на встречное дви­жение». Эти задачи получают некоторое развитие для случая, когда предметы начинают движение из одной точки и в противо­положных направлениях (№ 541, 544 и т. п.). Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсцени­ровке, что «встречное движение» — тоже движение в «противо­положных направлениях», что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут «удаляться» друг от друга с той же скоростью, с какой «сближались». Поэтому скорость удаления также равна сумме скоростей движущихся тел.

При рассмотрении первой из подобных задач не следует сразу опираться на понятие «скорости удаления», а решить ее- различ­ными способами аналогично тому, как рассматривалась задача № 464.

Основные положения методики обучения решению задач на пахождение доли числа, числа по его доли и дроби числа разби­раются в § 56. Заметим здесь, что каждая из этих задач, особен­но задачи на нахождение доли или дроби числа, встречаются (как элементы) при решении различных задач, в том числе и задач «на движение».

Параллельно рассматриваются и задачи, обратные задаче на­хождения площади прямоугольника по данным его сторонам (Задачи нового вида —•. задачи, которые в методике по тради­ции называются задачами на пропорциональное деление.

Задача № 592 (1) является подготовительной по отношению к задаче № 592 (2). При объяснении решения первой из них, в том случае, если у учащихся возникнут затруднения, следует подчерк­нуть, что стулья, купленные в первый и во второй раз, одинаковые, т. е. имеют одну и ту же цепу. Поэтому цена каждого стула выра­жена так: 50: (6 -f- 4) руб.

Приступая к рассмотрению задачи № 592 (2), целесообраз­но отметить, что только что решенная задача входит в состав этой новой. Безотносительно к тому, каким из способов будет решена задача, нужно установить: 1) сколько стульев куплено; 2) цену одного стула; 3) стоимость 6 стульев; 4) стоимость 4 сту­льев.

Важно обратить внимание учащихся, что "для решения зада­чи необходимо составить два выражения 50: (6 + 4) • 6 и 50: (6 + 4) • 4, так как в задаче заключено два вопроса.

Задачи этого вида должны решаться и по действиям и с по­мощью составления выражений.

Среди задач этого вида, как показывает опыт, несколько слож­нее задачи, где встречается «деление по содержанию», например деление стоимости на цену для выяснения количества куплен­ного.

При рассмотрении подготовительной задачи 612 (1) после чтения текста задача разбивается на две простые:

1. «Девочка купила на 90 коп. лепты ценою по 30 коп. за 1 м. Сколько метров ленты она купила?»

2. «Девочка купила на 60 кон. ленты ценой по 30 коп. за 1 м. Сколько метров ленты она купила?» Решение этих задач, как пра­вило, затруднений не вызывает, а чтобы выделить их, необходи­мо только выяснить, по какой цене покупала ленты каждая девочка.

Затем рассматривается задача № 612 (2).

При разборе этой задачи важно установить, что нам не обой­тись без выяснения «цены 1 м ленты». Для этого дети должны понять, что сначала нужно узнать и что ответ на этот вопрос: «Сколько стоят 5 м ленты?» — дает выражение (90 + 60) коп. После этого мы получаем возможность узнать цену 1 м, а тогда легко получить искомые ответы. Так как выражения для их полу­чения требуют применения «двойных» скобок, лучше ориентиро­вать учащихся на решение таких задач по действиям. Было бы не­целесообразным требовать от учащихся решения подобных задач п с составлением уравнений. Подчеркнем еще раз нежелатель­ность сообщения учащимся термина «задача на пропорциональ­ное деление» и т. п. Это ориентирует на заучивание способов ре­шения типовых задач, от чего школа давно и вполне обоснованно отказалась.

Это же замечание относится и к задачам № 685, 696 и т. п.

Рассмотрим так называемые задачи на нахождение неизвест­ного по двум разностям. Успех решения этих задач, например № 685, зависит от осознания учащимися того, что если «в одном Куске ткани на 4 м больше, чем в другом куске такой же ткани (той же цены), то первый кусок будет стоить больше, чем второй. Причем разница стоимости приходится на эти 4 м. Значит, если первый кусок стоит на 24 руб. больше, чем второй, то 4 м этой ткани стоят 24 руб.». Нахождение цены 1 м ткани не составит труда для большинства учащихся. После решения задачи № 685 (1) предлагается разобрать задачу № 685 (2), которая представляет

3Q5 собой некоторое усложнение предыдущей. Ее целесообразно рассмотреть по действиям:

1) 7 — 3 = 4 (м) — стоят 24 руб.;

2) 24: 4 = 6 (руб.) — стоит 1 м ткани;

3) 6 • 4 = 24 (руб.) — стоят 4 м ткани;

4) 6 ■ 7 = 42 (руб.) — стоят 7. м ткани.

Развитие умений решать подобные задачи и связано с исполь­зованием известных учащимся зависимостей между другими ве­личинами (например, общей массой, массой одного предмета, количеством Предметов). При рассмотрении подобной задачи (№ 696 (1) можно применить схему-зарисовку, в которой круж­ками разного цвета изображаются банки с вареньем: 12 круж­ков — с вишневым вареньем, 20 кружков — с малиновым. Схема дает возможность увидеть, что масса малинового варенья па 46 кг больше, чем вишневого, потому что этого варенья-на 8 ба­нок больше. После этого решить задачу легко.

Выше уже отмечалось, что важным направлением в обучении решению задач в III классе является овладение учащимися реше­нием задач с помощью составления уравпений. Система задач, представленная в учебнике, предусматривает постепенное услож­нение соответствующих заданий, но в Пределах тех их видов, которые определены программой.

Рассмотрим пример наиболее сложной задачи (№ 666):

«На участке росли 56 лип и несколько сосен. Когда одну сос­ну сломало бурей, то их стало в 2 раза меньше, чем лип. Сколько сосен было на участке?»

Авторы учебника поставили перед учеником целы

«Объясни, как составлено по задаче уравнение:

56! (х — 1) = 2».

Этот вопрос во многом определит методику рассмотрения задачи, логику рассуждений учащихся. В уравнении х — число сосен до бури; (х — 1) — число сосен после того, как 1 сосну сломало бурей; 56: (х — 1) показывает, во сколько раз число лип больше числа сосен после бури (или во сколько раз число сосен меньше числа лип). Зная по условию задачи, что число сосен меньше числа лип в 2 раза, составляем уравнение: 56: (х - 1) = 2.

Следует подчеркнуть, что изложенный нами подход к обуче­нию решению задач, в котором не отдается преимущества ни одному из возможных способов решения задачи, позволяет сфор­мировать необходимые умения чтения текста задачи, использова­ния краткой записи или схемы (в случае необходимости) прове­дения разбора задачи и т. д.

Если дети научатся в I—4 классах решать задачи той степе­ни трудности, которые представлены в учебниках, используя при этом как арифметический, так и алгебраический способы реше­ния, то это обеспечит необходимую преемственность между 111 и IV классами. При этом в I—III классах пе ставится цель про­демонстрировать преимущества решения задач с помощью со­ставления уравнения по сравнению с арифметическими спосо­бами.