2015-05-18
909
Если в модели присутствует автокорреляция, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Так, например, если рассматривается ряд значений курса какой-либо ценной бумаги, то именно результат последних торгов служит отправной точкой для формирования курса на следующих торгах.
Таким образом, отсутствие корреляции между соседними членами служит хорошим основанием считать, что корреляция отсутствует и в целом. Наиболее известным критерием (тестом) обнаружения автокорреляции между соседними членами является критерий Дарбина – Уотсона.
Критерий Дарбина–Уотсона основан на следующей идее: если корреляция случайных возмущений ei не равна нулю, то она присутствует и в остатках еi= уi- уi *, i = 1, 2, …, n. В критерии Дарбина – Уотсона для оценки корреляции используется статистика Дарбина – Уотсона вида
. (5.7)
Статистика Дарбина–Уотсона d связана с выборочным коэффициентом корреляции r = 
между соседними значениями соотношением:
d» 2 (1 – r).
|
|
|
Поскольку коэффициент корреляции r принимает значения – 1 £ r £ 1, то
0 £ d £ 4,
и ее значения могут указывать на наличие либо отсутствие автокорреляции.
Действительно, если
· r» 0 (автокорреляция отсутствует), то d» 2;
· r» 1 (положительная автокорреляция), то d» 0;
· r» –1 (отрицательная автокорреляция), то d» 4.
Таким образом, необходимым условием отсутствия автокорреляции случайных возмущений является близость к 2 значения d -статистики Дарбина–Уотсона. Для ответа на вопрос, какие значения d можно считать статистически близкими к 2, разработаны специальные таблицы нижних и верхних критических точек распределения d -статистики Дарбина–Уотсона – dн = dн (n, m, a) и dв = dв (n, m, a) (см. табл.4 Приложения). Критические точки определяются в зависимости от количества наблюдений n, числа объясняющих переменных m и уровня значимости критерия a.
Алгоритм выявления автокорреляции возмущений на основе статистики Дарбина – Уотсона следующий.
1. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции возмущений. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят соответственно в наличии положительной и отрицательной автокорреляции. Задается уровень значимости критерия a.
2. С помощью выборочного уравнения регрессии определяются значения остатков еi= уi- уi* для каждого наблюдения i = 1, 2, …, n.
3. По формуле (5.7) рассчитывается значение d -статистики.
4. По таблице критических точек распределения d -статистики (см. Приложение) определяются критические точки dн = dн (n, m, a) и dв = dв (n, m, a) для заданного числа наблюдений n, числа объясняющих переменных m и уровня значимости a.
5. Делаются выводы по следующему правилу:
|
|
|
· если 0 £ d < dн, то принимается альтернативная гипотеза Н1 о положительной автокорреляции;
· если dн £ d < dв, то вопрос о принятии или отклонении основной гипотезы Н0 остается открытым (область неопределенности критерия);
· если dв £ d < 4 – dв, то принимается основная гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции;
· если 4 – dв £ d < 4 – dн, то вопрос о принятии или отклонении основной гипотезы Н0 остается открытым (область неопределенности критерия);
· если 4 – dн £ d £ 4, то принимается альтернативная гипотеза Н1* об отрицательной автокорреляции.
Изобразим данное правило графически:
 |
Рис. 5.4. Критерий Дарбина – Уотсона на автокорреляцию
Пример 5.3. Проверить наличие или отсутствие автокорреляции возмущений в регрессионной модели, построенной по данным примера 2.2, на уровне значимости 0,01.
Решение. Будем придерживаться вышеизложенной схемы критерия Дарбина – Уотсона.
1. Пусть основная гипотеза Н0 состоит в отсутствии автокорреляции возмущений, альтернативные Н1 и Н1* – в наличии соответственно положительной и отрицательной автокорреляции. Зафиксируем уровень значимости критерия a = 0, 01.
2, 3. Воспользуемся данными табл. 2.3 примера 2.3 (или табл. 5.1 примера 5.1), дополнив их необходимыми вычислениями:
Таблица 5.2
| i | ei | ei– 1 | ei – ei– 1 | (ei – ei– 1)2 | ei 2 |
| –1,63 | – | – | – | 2,66 | |
| –0,49 | –0,49 | –1,14 | 1,30 | 0,24 | |
| 1,57 | 1,57 | –2,06 | 4,24 | 2,46 | |
| 0,77 | 0,77 | 0,80 | 0,64 | 0,59 | |
| –0,77 | –0,77 | 1,54 | 2,37 | 0,59 | |
| –0,63 | –0,63 | –0,14 | 0,02 | 0,40 | |
| 0,43 | 0,43 | –1,06 | 1,12 | 0,18 | |
| 1,76 | 1,76 | –1,33 | 1,77 | 3,10 | |
| 1,29 | 1,29 | 0,47 | 0,22 | 1,66 | |
| –4,45 | –4,45 | 5,74 | 32,95 | 19,8 | |
| 1,89 | 1,89 | –6,34 | 40,20 | 3,57 | |
| 0,22 | 0,22 | 1,67 | 2,79 | 0,05 | |
| S | » 0 | –1,63 | 1,63 | 87,62 | 35,3 |
Вычисляем значение d -статистики по формуле (5.7):
.
4. По табл. 4 Приложения при a = 0,01 и n = 12, m = 1 находим dн = 0,697 и dв = 1,023.
5. Так как dв £ d < 4 – dв (1,023 £ 2,48 < 2,977), то принимается основная гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции возмущений модели. g
