Устранение гетероскедастичности

При наличии гетероскедастичности для ее устранения необходимо преобразовать модель. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии случайных возмущений e_i, i = 1, 2, …, n.

Предположим, что общая линейная регрессионная модель

(5.3)

гетероскедастична, т.е. дисперсии случайных возмущений не равны между собой, а сами возмущения e_i и e_j не коррелированны. Это означает, что ковариационная матрица (см. п. 3.2, тема 3) K (e) векторавозмущений e диагональная:

. (5.4)

Если дисперсии возмущений (i = 1, 2, …, n) известны, то гетероскедастичность устраняется достаточно легко. Действительно, будем рассматривать в качестве i -го наблюдения зависимой Y и объясняющих переменных X_j (j = 1, …, m) нормированные по s_i значения этих переменных:

.

Тогда модель (5.3) примет вид:

(5.5)

где .

Очевидно, дисперсии , т.е. модель (5.5) гомоскедастична. При таком преобразовании переменных ковариационная матрица K (e) становится единичной, а сама модель (5.5) – классической.

Применение МНК к линейной регрессионной модели (5.5) дает эффективную оценку а ^* вектора параметров а модели (5.3):

, (5.6)

где матрица X и вектор Y определены в п. 3.2 (тема 3).

Обобщение МНК для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица диагональная, называется взвешенным (или обобщенным) методом наименьших квадратов.

На практике, однако, значения стандартных отклонений s_i случайных возмущений модели почти никогда не бывают известными. В этом случае для применения взвешенного МНК, т.е. использования формулы (5.6), значения s_i следует заменить их состоятельными оценками .