Предпосылки метода наименьших квадратов

Цель: научиться методики проверки с помощью ЭВМ основных предпосылок метода наименьших квадратов, который лежит в основе всего регрессионного анализа.

Проверим выполнение предпосылок метода наименьших квадратов по данным из следующего примера.

Пример. По статистическим данным, приведенным ниже в таблице, необходимо построить линейную регрессионную модель.

Для ее реализации и возможности использования нужно проверить предпосылки использования метода наименьших квадратов, который лежит в основе регрессионного анализа.

1. Для проверки первой предпосылки «Случайный характер остатков» нужно получить график остатков – отклонений данных от линии регрессии. Вводим в А1-Р2 данные вместе с подписями. В строке 3 строим данные регрессии. Для этого в А3 вводим подпись «Регрессия», а в В3 вводим формулу «ТЕНДЕНЦИЯ» (категория «Статистические»), аргументы которой следующие: «Изв_знач_у» – ссылка на вторую строку B2:P2, «Изв_знач_х» – ссылка на первую строку B1:P1, «Нов_знач_х» – опять ссылка на B1:P1, «Константа» – 1. Далее обводим В3-Р3, выделяя их, и нажимаем F2 и затем «Ctrl+Shift+Enter». в строке 4 вводим остатки. В А4 вводим подпись «Остатки», а в В4 формулу «=В2-В3». Автозаполнением переносим результат на В4-Р4. Строим график остатков. Обводим, выделяя А4-Р4 и вызываем мастер диаграмм. Выбираем категорию «Точечные», тип «Точечная диаграмма» (в верхнем левом углу), нажимаем «Далее». Переходим на закладку «Ряд», переводим курсор в поле «Значения Х» и обводим диапазон В1-Р1. По графику видно, что точки – метки остатков, действительно распределены случайно.

2. Для проверки второй предпосылки «Близкая к нулю сумма остатков для любого интервала значений фактора» нужно вычислить суммы остатков для первой, второй и третьей трети значений Х. Для этого в А6 вводим подпись «S1=», в В6 функцию СУММ (категория «Математические»), аргумент которой «Число 1» - ссылка на пять первых остатков - B4:F4. В С6 вводим «S2=», в D6 функцию СУММ с аргументом - ссылкой на вторые пять остатков - G4:K4. В Е6 вводим «S3=», в F6 – СУММ с аргументом - ссылкой на третью пятерку остатков - L4:P4. Видно, что все три числа близки к нулю (не превышают единицы), что говорит о малости суммы остатков для любой области аргумента.

3. Третья предпосылка – «Отсутствие гетероскедастичности остатков» предполагает, что дисперсия остатков равна для любой области значений аргументов. Также, как и в пункте 2, вычисляем дисперсии для первой, второй и третьей части значений Х. Для этого в А7 вводим подпись «D1=», в В7 функцию ДИСП (категория «Статистические»), аргумент которой «Число 1» - ссылка на пять первых остатков - B4:F4. В С7 вводим «D2=», в D7 функцию ДИСП(G4:K4). В Е6 вводим «D3=», в F7 – ДИСП(L4:P4). Видно, что дисперсии близки по величине друг к другу. Проверим статистическую гипотезу (при a=0,05) о равенстве дисперсий друг другу. Для этого в Н7 вводим «Критерий», в I7 формулу критерия, равную отношению большей дисперсии (1,313) к меньшей (0782), т.е. формулу «=F7/D7». Результат 1,679. Вводим в J7 подпись «Критическое», а в К7 функцию FРАСПОБР, аргументы которой равны: «Вероятность» равна 0,05 (дана по условию), «Степени свободы 1» равно 4 (число точек большей дисперсии минус один), «Степени свободы 2» равно 4 (число точек меньшей дисперсии минус один). Результат 6,388. Видно, что критерий меньше критического значения, значит, дисперсии можно считать равными, а остатки гомоскедастичными.

4. Предпосылку «Отсутствие автокорреляции остатков» проверяем вычислением парного коэффициента автокорреляции. Вводим в А8 «Автокорреляция» и в В8 функцию ПИРСОН (категория «Статистические»). В поле аргумента «Массив 1» делаем ссылку на остатки все, кроме последнего (B4:O4), а в поле «Массив 2» - ссылку на те же остатки, но со смещением на один, обводя их мышью все, кроме первого (C4:P4). Коэффициент автокорреляции равен -0,527. Хоть и видно что он невысок, но его необходимо проверить на значимость. В С8 вводим подпись «Критерий», а в D8 формулу критерия

, в виде записи «=ABS(B8)*КОРЕНЬ(13/(1-B8*B8))». Сравним этот показатель с критическим значением при a=0,01. В Е8 вводим подпись «Критическое», а в F8 функцию СТЬЮДРАСПОБР (категория «Статистические») с аргументами «Вероятность» 0,01, «Степени свободы» 12. Видно, что 2,236<3,055, что говорит о отсутствии автокорреляции.

5. Предпосылку «Закон распределения остатков близок к нормальному» можно проверить выполнением неравенства , где САО – среднеабсолютное отклонение, S – среднеквадратическое (стандартное) отклонение. Вводим в В9 функцию «=ABS(СРОТКЛ(B4:P4)/СТАНДОТКЛОН(B4:P4)-0,7979)<0,4/КОРЕНЬ(15)». Результат – «ИСТИНА», что говорит о том, что распределение остатков близко к нормальному.

Таким образом, можно считать, что все пять предпосылок метода наименьших квадратов выполнены, и построенную регрессионную модель можно использовать для получения оценок и прогнозов.

Задание на самостоятельную работу

В соответствии с методом наименьших квадратов по опытным данным найти уравнение линейной регрессии . Проверить выполнение всех пяти предпосылок МНК.