Взаимосвязи временных рядов

Цель: Изучить основные методы определения зависимости между двумя временными рядами. Научиться строить уравнение линейной регрессии рядов с включенным в него фактором времени.

Рассмотрим следующий пример.

ПРИМЕР. Имеются данные о экспорте х и внешнеторговом обороте у некоторого государства за 16 месяцев:

Необходимо определить, существует ли линейная связь между факторами х и у (взять уровень значимости a=0,05), и оценить величину этой связи. Если связь имеется, то нужно построить уравнение линейной регрессии с включенным в него фактором времени.

Вводим исходные данные вместе с подписями в первые три столбца электронной таблицы в ячейки A1-С17. Построем графики рядов. Выделяем уровни рядов (ячейки В2-С17) и вызываем мастер диаграмм. Выбираем тип «График» и вид «График с маркерами» (второй сверху левый), нажимаем «Готово». Видно, что оба ряда имеют ярко выраженную тенденцию. Вычисляем коэффициент парной корреляции между данными. Для этого в ячейку В19 вводим подпись «Rxy=», а в соседнюю С19 функцию «ПИРСОН» (категория «Статистические»), аргументы которой «Массив 1» и «Массив 2» есть ссылки на значения факторов в ячейках В2-В17 и С2-С17 соответственно. Видно, что результат 0,994 очень высок, но это не значит, что между показателями имеется столь сильная связь, т.к. коэффициент линейной корреляции может быть завышен из-за наличии тенденции в каждом ряду (ложная корреляция). Для исключения воздействия фактора времени на формирование уровней ряда используют два способа исключения тенденции.

1. Метод отклонений от тренда. Для его реализации строится трендовая составляющая каждого ряда Т и вычисляется разность между уровнями ряда и трендом. Вводим в D1 подпись «Тх», в а D2 вводим функцию ТЕНДЕНЦИЯ, категория «Статистические», которая вычисляет линейную трендовую составляющую. Аргументы функции «Изв_знач_у» – ссылка на В2-В17, «Изв_знач_х» – ссылка на А2-А17, «Нов_знач_у» – вновь ссылка на А2-А17, «Константа» – единица. Обводим курсором, выделяя ячейки D2-D17, нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Для нахождения тенденции фактора х вводим в Е1 подпись «Ту», в а Е2 вводим функцию ТЕНДЕНЦИЯ с аргументами «Изв_знач_у» – ссылка на С2-С17, «Изв_знач_х» – ссылка на А2-А17, «Нов_знач_у» – ссылка на А2-А17, «Константа» – единица. Выделяем ячейки Е2-Е17, нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. В следующих двух столбцах вычисляем разницу между уровнями ряда и трендом. Вводим в F1 и G1 подписи «х-Тх» и «у-Ту» соответственно, а в «F2» вводим формулу «=B2-D2». Автозаполняем ячейку на F2-G17. Вычислим теперь коэффициент линейной корреляции между полученными данными, лишенными тренда . Вводим в F19 подпись «r1», а в G19 функцию ПИРСОН, аргументы которой – ссылки на столбцы F2-F17 и G2-G17. Результат 0,711 меньше, чем между данными с трендовой составляющей, но он объективно показывает степень связи между факторами х и у. Проверим, можно ли принять статистическую гипотезу о значимости коэффициента корреляции (и, соответственно о наличии связи между факторами). Вводим в F20 подпись «t-критерий», а в G20 формулу в виде «=ABS(G19)*КОРЕНЬ(14/(1-G19*G19))». Вычисляем критическое значение критерия, с которым сравнивается t-статистика . Ниже в F21 вводим «t-критическое», а в G21 функцию СТЬЮДРАСПОБР (категория «Статистические»). Аргументы: «Вероятность» - уровень значимости 0,05, «Степени свободы» – n -2=14. Видно, что t-статистика больше критического значения, значит, коэффициент линейной корреляции значим и между факторами имеется статистическая связь.

2. Метод последовательных разностей. Для его реализации вычисляются разности между последовательными уровнями рядов, которые при линейной тенденции не зависят от тренда. Вводим в Н1 подпись «dx», а в I1 – «dy». В Н3 вводим формулу «=B3-B2» и автозаполнением переносим ее на Н3-I17. Вычисляем коэффициент линейной корреляции между рассчитанными разностями . Для этого в Н19 подпись «r2», а в I19 функцию ПИРСОН с аргументами H3-H17 и I3-I17. Результат 0,894 также меньше, чем между данными с трендовой составляющей. Проверим, можно ли принять статистическую гипотезу о значимости коэффициента корреляции . Вводим в Н20 подпись «t-критерий», а в I20 формулу «=ABS(I19)*КОРЕНЬ(14/(1-I19*I19))». Вычисляем критическое значение критерия, с которым сравнивается t-статистика . Ниже в Н21 вводим «t-критическое», а в G21 функцию СТЬЮДРАСПОБР с аргументами: «Вероятность» - 0,05, «Степени свободы» – 13 (одна степень теряется при вычислении разности). Видно, что t-статистика больше критического значения, что еще раз подтверждает предположение о наличии связи между факторами.

Построим теперь уравнение множественной регрессии , с включением в него фактора времени. Для этого переводим курсор в ячейку А23 и вводим в нее функцию ЛИНЕЙН, аргументы которой «Изв_знач_у» – ссылка на С2-с17, «Изв_знач_х» – ссылка на два столбца х и «Месяц» - А2-В17, «Константа» – единица, «Стат» - единица. Обводим курсором, выделяя массив в 3 столбца и 5 строк в ячейках А23-С27, нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Проанализировав первую строку полученной матрицы, найдем из ячеек С23-А23 коэффициенты уравнения регрессии, а именно .

Задание на самостоятельную работу

Промышленная компания выпускает телефоны с определителем номера. Производятся две модели телефонов: дешевая версия АОН-21 и дорогая многофункциональная версия АОН-31. Имеются данные о количествах продаж обоих версий за 16 недель (в тыс. шт.) Необходимо определить, существует ли линейная связь между продажами версии АОН-21 (фактор х) и АОН-31 (фактор у, взять уровень значимости a=0,01), и оценить величину этой связи. Если связь имеется, то нужно построить уравнение линейной регрессии с включенным в него фактором времени.