Задание 2.2

Задача 1.

Производство х1	30,8	34,3	38,3	37,7	33,8	39,9	38,7	37,0	31,4
Импорт х2	1,1	1,2	0,4	0,2	0,1	0,1	0,1	0,2	0,33
Потребление у	15,7	16,7	17,5	18,8	18,0	18,3	18,5	19,1	18,0

Найти: Var =? и парную Cov =?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 9

2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ ⁿ_{i = 1} * x _i

х₁ = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х₁ = 35,767

х₂ = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9

х₂ = 0,414

у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у = 17,844

3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ⁿ_{i = 1} * (x _i – x_i)²

(x1 – x1)	-4,967	-1,467	2,533	1,933	-1,967	4,133	2,933	1,233	-4,367	Σ = 87,120 Σ/n = 9,680
(x1– x1)2	24,668	2,151	6,418	3,738	3,868	17,084	8,604	1,521	19,068
(x2 – x2)	0,686	0,786	-0,014	-0,214	-0,314	-0,314	-0,314	-0,214	-0,084	Σ = 1,483 Σ/n = 0,165
(x2– x2)2	0,470	0,617	0,000196	0,046	0,099	0,099	0,099	0,046	0,007
(y – y)	-2,144	-1,144	-0,344	0,956	0,156	0,456	0,656	1,256	0,156	Σ = 9,202 Σ/n = 1,022
(y– y)2	4,599	1,310	0,119	0,913	0,024	0,208	0,430	1,576	0,024

4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ ⁿ_{i = 1} * (x_i – x)*(y_i – y)

(x1-x1)(y-y)	10,651	1,679	-0,873	1,847	1,923	1,549	-0,679	Σ = 17,673	Σ/n = 1,964
(x2 –x2)(y-y)	-1,470	-0,899	0,005	-0,205	-0,206	-0,269	-0,013	Σ = -3,250	Σ/n = -0,361
(x1-x1)(x2 –x2)	-3,405	-1,152	-0,037	-0,415	-0,922	-0,264	0,369	Σ = -6,508	Σ/n = -0,723

Ответ: Var₁ = 9,680 Cov₁ = 1,964

Var₂ = 0,165 Cov₂ = -0,361

Var₃ = 1,022 Cov₃ = -0,723

Задача 2.

Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.

Найти: b_1,2 =?

Решение:

1. Определим Var рядов объясняющих переменных:

Var(х₁) = 9,680

Var(х₂) = 0,165

2. Определим Cov:

Cov(x₁;у) = 1,964

Cov(х₂;у) = -0,361

Cov(х₁;х₂) = -0,723

3. Вычислим b₁ и b₂ по формулам:

b₁ = Cov(x₁;у)* Var(х₂) - Cov(х₂;у)* Cov(х₁;х₂)/ Var(х₁)* Var(х₂) – (Cov(х₁;х₂))²

b₂ = Cov(х₂;у)* Var(х₁) - Cov(x₁;у)* Cov(х₁;х₂)/ Var(х₁)* Var(х₂) - (Cov(х₁;х₂))²

b₁ = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)²

b₁ = 0,059

b₂ = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)²

b₂ = - 1,931

Ответ: 0,059; - 1,931

Задача 3.

Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)

Найти: а =?

Решение:

1. определим средние значения:

х₁ = 35,767 х₂ = 0,414 у = 17,844

2. Определим коэффициенты b₁ и b₂:

b₁ = 0,059 b₂ = -1,931

3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b₁x₁ – b₂x₂

a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)

a = 16,533

Ответ: 16,533

Задача 4.

Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.

Решение:

1. Определим коэффициенты b₁ и b₂:

b₁ = 0,059 b₂ = -1,931

2. Определим коэффициент а:

а = 16,533

3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:

[Х*]= а + b₁[x₁]+ b₂[x₂]

[Х*]	16,226	16,240	18,020	18,371	18,334	18,694	18,623	18,33	17,748

Задача 5.

Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.

Найти: RSS, TSS, ESS -?

Решение:

1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:

Потребление у	15,7	16,7	17,5	18,8		19,1		Σ = 160,6	Σ/n = 17,84
у*	16,226	16,240	18,020	18,371	18,334	18,330	17,748	Σ= 160,6	Σ/n = 17,84

у = y*

2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:

TSS = Σ_{i = 1}ⁿ (y_i - y)²

TSS = 9,202

(yi - y)2

4,60

1,31

0,12

0,91

0,21

0,43

1,58

0,02

Σ= 9,202

3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

ESS = Σ_{i = 1}ⁿ (y_i – y*)²

ESS = 7,316

(yi – y*)2

2,614

2,571

0,031

0,279

0,241

0,724

0,609

0,237

0,009

Σ= 7,316

4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

RSS = Σ_{i = 1}ⁿ (y_i – y*)²

RSS = 1,882

(yi – y*)2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593

0,063

Σ= 1,882

Ответ: 9,202;7,316; 1,882

Задача 6.

Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5

Найти: R-?

Решение:

1. Вычислим TSS и ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

2. Найдем R² по формуле:

R² = ESS/TSS

R² = 7,316/9,202

R² = 0,795

Ответ: 0,795

Задача 7.

Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).

Решение:

1. Найдем Var:

Var(х₁) = 9,680

Var(х₂) = 0,165

2. Найдем Cov:

Cov(х₁;х₂) = -0,723

3. Рассчитаем коэффициент корреляции:

r(x₁;х₂) = Cov(х₁;х₂)/√ Var(х₁)- Var(х₂)

r(x₁;х₂) = -0,723/3,085

r(x₁;х₂) = - 0,234

Ответ: - 0,234

Задача 8.

Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.

Найти: S_u²(u) -?

Решение:

1. Найдем RSS:

RSS = 1,882

2. Найдем число степеней выборки

k = n-m-1

k = 9-2-1

k = 6

3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:

S_u²(u) = RSS/ n-m-1

S_u²(u) = 1,882/9-2-1

S_u²(u) = 0,3136

Ответ: 0,3136

Задача 9.

Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.

Найти: С.О.(b₁), C.O.(b₂) -?

Решение:

1. Найдем дисперсию случайного члена:

S_u²(u) = 0,3136

2. Найдем Var:

Var(х₁) = 9,680

Var(х₂) = 0,165

3. Найдем коэффиц. корреляции:

r(x₁;х₂) = - 0,234

4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b₁), C.O.(b₂):

С.О.(b₁) = (√(S_u²(u)/n * Var(х₁)) * (1/1- r² (x₁;х₂))

С.О.(b₁) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))

C.O.(b₂) = (√(S_u²(u)/n * Var(х₂)) * (1/1- r² (x₁;х₂))

C.O.(b₂) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))

С.О.(b₁) = 0,0486

C.O.(b₂) = 0,3724

Ответ: 0,0486; 0,3724.

Задача 10.

Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.

Найти: DW -?

Решение:

1. Определим остатки в наблюдениях:

e_k = y_k – y^*_k; k = (1:n)

y(k)	15,7	16,7	17,5	18,8		18,3	18,5	19,1
y(k)*	16,226	16,240	18,020	18,371	18,334	18,694	18,623	18,330
e(k)	-0,526	0,461	-0,520	0,429	-0,334	-0,394	-0,123	0,770
ek-e(k-1)	-0,987	0,981	-0,949	0,763	0,060	-0,271	-0,893	0,519
ek-e(k-1)^2	0,973	0,962	0,901	0,582	0,004	0,073	0,798	0,269
e(k)^2	0,277	0,212	0,271	0,184	0,112	0,155	0,015	0,593

(e _k-e _{k – 1}) ²= 4,562

e _k² = 1,882

2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:

DW = Σ (e _k-e _{k – 1})²/ Σ e _k²

DW = 2,424

DW > 2

Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.