Задачи по эконометрике

Задача 1.

Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:

Годы
Кол-во ВУЗов

Найти: х -?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 5

2. Запишем формулу:

х = 1 / n Σ ⁿ_{i = 1} * x _i

3. x = (1*(548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2

Ответ: 564,2

Задача 2.

Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:

Поголовье КРС (млн.т)		54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
Пр-во молока (тыс.т)	1,49	1,38	1,29	1,1	0,99	0,9	0,88

Найти: Cov -?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

2. Определим выборочное среднее для скота:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

3. Определим выборочное среднее для молока:

y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147

4. Запишем формулу для определения ковариации:

Cov (x;y) = 1/n Σ ⁿ_{i = 1} (x_i - x)(y_i - y)

5. Вычислим ковариацию:

Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634

Ответ: 1,634

Задача 3.

Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).

Найти: Var -?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

2. Определим выборочное среднее:

х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714

3. Запишем формулу для определения вариации:

Var (x) = 1/n Σ ⁿ_{i = 1} (x_i - x)²

4. Определим вариацию:

Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204

Ответ: 52,204

Задача 4.

Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:

х (производство мяса) = 6,8

y (поголовье скота) = 47,3

Cov = 11,2

Var = 56,9

Оценить параметры

Решение:

1. b = Cov (x;y)/Var (x)

b = 11,2/56,9

b = 0,196

2. a = y – bx

a = 47,3 – 0,196 * 6,8

a = 45,968

3. y = 45,968 + 0,196x

Задание 5.

Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:

y = 0,20x – 2,24

	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85

Найти: g ₁ =?

Решение:

1. Выбор № наблюдений: i = 1

2. х _i = 57

3. y _i = 8,37

4. Вычислим:

y*= 0,20x – 2,24

y*= 0,20x ₁ – 2,24

y*= 0,20*57 – 2,24

y*= 9,16

5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:

g _i = y_i - x_i

g ₁ = 8,37 – 9,16

g ₁ = - 0,79

Ответ: - 0,79

Задача 6.

Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.

	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85

Найти: RSS =?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 7

2. Вычислим: y_i = a + bx_i, получим

y₁^*= 0,20*57 – 2,24, y₁^*= 9,16

y₂^*= 0,20*54,7 – 2,24, y₂^*= 8,7

3. Определим остатки:

g ₁ = 8,37 – 9,16, g ₁ = - 0,79

g ₂ = 8,26 – 8,7, g ₂ = - 0,44

4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:

RSS = Σ ni =1 g i2

RSS = (- 0,79)² + (-0,44)²

RSS = 775, 2592

Ответ: 0,8177

Задача 7.

Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).

	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85

Найти: ESS =?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 7

2. Вычислим: y_i = a + bx_i, получим

y₁= 0,20*57 – 2,24, y₁ = 9,16

y₂ = 0,20*54,7 – 2,24, y₂ = 8,7

y₃ = 0,20*52,2 – 2,24, y₃ = 8,2

y₄ = 0,20*48,9 – 2,24, y₄ = 7,54

y₅ = 0,20*43,3 – 2,24, y₅ = 6,42

y₆ = 0,20*39,7 – 2,24, y₆ = 5,7

y₇ = 0,20*35,1 – 2,24, y₇ = 4,78

3. Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ ⁿ_{i = 1} * y _i получим:

y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7

y = 7,214

4. Вычислим ESS:

ESS = Σ_{i = 1}ⁿ (y_i^* - y_i)²

ESS = (9,16 – 7,214)²+(8,7 – 7,214)²+(8,2 – 7,214)²+(7,54 – 7,214)²+(6,42 – 7,214)²+(5,7 – 7,214)²+(4,78 – 7,214)²

ESS = 15,921

Ответ: 15,921

Задача 8.

В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.

RSS = 0,8177

ESS = 15,921

Решение:

1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

TSS = Σ_{i = 1}ⁿ (y_i - y)²

TSS = 12,016

уi	8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85	Σ = 46,91	Σ/n = 6,701
(yi - y)2	2,784	2,429	0,654	0,010	0,831	1,881	3,428	Σ = 12,016

2. Проверим:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.

Задача 9.

Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.

Найти: R² =?

Решение:

1. Определим коэффициент детерминации:

R² = ESS/TSS

R² = 15,37/16,21

R² = 0,948

Ответ: 0,948

Задача 10

Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86, а второго 2,32.

Cov (x,y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Найти: Z_xy -?

Решение:

1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:

Z_xy = Cov²(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)

2. Вычислим выборочную корреляцию:

Z_xy = (11,17)²/ √ 59,86*2,32

Z_xy = 124,769/11,785

Z_xy = 10,588

Ответ: 10,588