Логическое сложение (дизъюнкция) или операция ИЛИ

Рассмотрим пример. В вашей комнате висит светильник, со­стоящий из трех лампочек, каждая из ко­торых может включаться отдельно. Когда произойдет событие S — в комнате горит свет? Очевидно, тогда, когда будет гореть или одна лампочка, или любые две, или все три. И только в одном случае из восьми (2³ = 8) событие S не наступит — когда ни одна из лампочек гореть не будет.

Другой пример. Стоит поздняя осень. Рассказывая по телевизору о прогнозе погоды, сотрудник Гидрометеоцентра говорит: «Завтра воз­можны осадки». Когда это событие будет истинным? Очевидно, что тогда, когда будет идти снег или дождь, или, что бывает тоже, снег с дождем. И только в одном случае это событие не произойдет — ког­да ни снега, ни дождя, ни снега с дождем не будет. Обозначим событие «выпадение осадков» как S, дождь — как А, снег — как В. Как вы по­нимаете, комбинаций аргументов может быть четыре (2² = 4).

Обобщая, заметим, что событие S произойдет, если произойдет или событие А, или событие В, или они оба. И только в одном случае со­бытие S не произойдет — когда не произойдет ни одно из событий-аргументов.

Именно поэтому логическое сложение иногда называют операцией ИЛИ. Эту операцию обозначают символом «v», а также символом «+».

А	В	S
0 (дождь не идет)	0 (снег не идет)	0 (осадков нет)
0 (дождь не идет)	1 (снег вдет)	1 (осадки есть)
1 (дождь идет)	0 (снег не идет)	1 (осадки есть)
1 (дождь идет)	1 (снег идет)	1 (осадки есть)

Запишем значение логической функции S = А + В.

А	В	S = A + B

Если же мы рассмотрим более сложную дизъюнктивную форму, например: А = В + + C + D + E + F+G, то сразу определим, что количество комбинаций значений ло­гических операндов В, С, D, Е, F, G будет равно 64, так как каждый операнд может иметь два значения, а всего таких операн­дов шесть, причем в 63 случаях значение функции будет равно 1 и только в одном 0, Попробуем обобщить.

И дизъюнктивных формах значение логической функции равно 0 только в одном случае — когда все логические операнды равны 0, во всех остальных слу­чаях значение логической функции равно 1. Эта закономерность очень полезна при упрощении сложных логических выражений. Действительно, стоит убедить­ся, что один из операндов дизъюнктивной формы равен 1, как вывод очевиден — значение логической функции равно 1.

Логическое отрицание (инверсия) или операция НЕ. Смысл этой функции заключается в том, что если значение логической пере­менной есть А = 1, то значение ее отрицания есть А = 0, и наоборот.

А

Логические схемы составляют основу построения многих техниче­ских систем обработки информации, в том числе, конечно, и компью­теров. Нас они будут интересовать как «черный ящик», т.е. нам важно знать, что логические схемы получают на входе, и что — на «выходе». Логические схемы выполняются, как правило, из диодов и (или) тран­зисторов и их работа описывается алгеброй логики.

На рисунке представлена логическая схема И (логическое сложение, конъюнкция).

&

А

S = А*В

В

Схема имеет входы А и В и выход S. На вход подаются сигналы, соответствующие значениям аргументов. Например, если А = 1, то на входе А есть сигнал, если же В = 0, то на входе В сигнала нет. Что такое сигнал? В общем случае это некое физическое воздей­ствие на вход схемы. В реальных схемах это, как правило, воздействие электрическим током (напряжением).

Очевидно, что приведенная логическая схема реализует операцию S = А * В и, следовательно, будет работать в соответствии с приведенной ранее таблицей значений, т. е. сигнал на выходе S будет только в том случае, когда будут сигналы на входе А и на входе В, в остальных трех случаях сигнала на выходе не будет, т. е. S = 0.

Давайте придумаем ситуацию, в которой эта схема может быть применима. Представьте себе, что мы задумали экономить электроэнер­гию на внутреннем освещении подъездов, чтобы лампочки загорались только тогда, когда света из окон уже недостаточно и когда в подъ­езде находится человек. Очевидно, что такая схема будет работать следующим образом: на окнах установлены фотодатчики, в которых возникает сигнал при уровне освещенности на улице ниже установ­ленной, этот сигнал подается на вход А, в то же время при нахождении человека в подъезде (на этаже) срабатывает фотоэлемент, сигнал с ко­торого передается на вход В, на выходе S в этом случае возникает сигнал, который и зажигает внутренне освещение подъезда. Нетрудно догадаться, что при достаточном уровне освещенности на улице или при отсутствии людей в подъезде, или в ситуации, когда имеет место и то и другое, освещение в подъезде включаться не будет.

Другой пример. Имеется закрытая стоянка на 50 автомашин. Для того чтобы подъезжающий водитель мог издалека получить информа­цию о наличии свободных мест, сделаем следующее. В пол каждого бокса установим датчик, который срабатывает под тяжестью стоящей автомашины, этот сигнал подается на схему И, имеющую 50 входов. Очевидно, что сигнал на выходе схемы возникает только в том случае, когда сигналы будут на всех входах, и выходной сигнал зажжет под­светку табло с надписью «Мест нет», во всех остальных случаях это табло гореть не будет.

Рассмотрим логическую схему ИЛИ (логическое сложение, дизъюнк­цию).

А

S = А+В

В

Схема имеет входы А и В и выход S. На вход подаются сигналы, соответствующие значениям аргументов. Например, если А = 1, то на входе А есть сигнал, если же В = 0, то на входе В сигнала нет. О том, что такое сигнал, мы уже говорили. Поскольку приведенная логическая схема реализует операцию S = А + В, она будет работать в соответствии с приведенной ранее таблицей, т.е. сигнал на выходе S будет тогда, когда на одном из входов А и В или же на обоих будет сигнал. Когда же на входах не будет сигнала, его не будет и на выходе S.

Рассмотрим примеры, описываемые дизъюнктивными закономер­ностями. Предположим, что есть трубопровод. Жидкий продукт, например нефть, транспортируется из пункта 1 в пункт 2. На трассе трубопровода имеются разветвления, проходящие через населенные пункты А, В и С, в которых имеются нефтераспределительные станции, снабженные вентилями, способными перекрыть движение нефти по трубе. Условимся, что если вентиль в пункте А от­крыт, то А = 1 и т. п. Когда произойдет событие S — поступление нефти в пункт 2? Очевидно, что возможны восемь комбинаций значе­нии аргументов логической функции S = А + В + С

А	В	С	S=A+B+C

Из таблицы видно, что из восьми возможных комбинаций открыт-закрыт вентилей А, В и С только при одной из них, а именно когда все три вентиля будут перекрыты, нефть в пункт 2 поступать не будет, т. е. событие S=0. Допустим, что на центральном пульте управления трубопроводом имеется индикатор, который подключен к выходу схемы ИЛИ, на вход схемы с каждого вентиля подается сигнал, если вентиль открыт. Очевидно, что индикатор (лампочка) будет светить­ся во всех случаях, кроме одного — когда все три вентиля будут за­крыты.

Рассмотрим на примере логическую схему НЕ. Допустим, что у нас есть обогреватель воздуха, который мы хотим заставить работать в ав­томатическом режиме. Это можно сделать так: с датчика температуры сигнал поступает в том случае, если температура в комнате в норме. Поступает он на специальную схему, которую будем называть схемой НЕ или инвертором.

А S =

Эта схема работает так, что если на входе есть сигнал, то на выходе — нет, и наоборот, если сигнала нет на входе, то на выходе он есть. Итак, пока температура в помещении в пределах установленной нормы, сигнал от датчика поступает на схему НЕ, и на ее выходе, к которому подключен обогреватель, сигнала, включающего его, нет. Как только температура опустится ниже установленной, сигнал от датчика на входе схемы НЕ пропадет, а сигнал на ее выходе появится и включит обо­греватель.

Будем обозначать логические схемы, реали­зующие функцию НЕ так, как показано на рисунке.

«Исключающее ИЛИ». Операция сложения по mod2. Эта логи­ческая операция также заслуживает внимания, поскольку она доста­точно широко используется в качестве внутренней команды микро­процессоров. Она обозначается знаком «».Закономерность очевидна: если операнды одинаковые, то результат равен 0; если операнды разные, то результат равен 1.

Иллюстрирует эту опера­цию ниже приведенная таблица.

А	В	S = A В

Приведем пример использования этой операции в компьютерных микропроцессорах. Сумматор — вид регистра, обладающий способно­стью сложения двоичных кодов. Сумматор — неотъемлемая и основная часть любого процессора. Пусть в нем находится некоторое восьмиби­товое число А, в регистре — восьмибитовое число В. Сложим содер­жимое регистра с содержимым сумматора по mod2 (логическая опера­ция «Исключающее ИЛИ»).

Числа А и В были неизвестны, но результат их побитового (пораз­рядного) сложения оказался равен 00000000. О чем это говорит? Ви­димо, о том, что числа были одинаковые. И наоборот, если результат такого сложения будет ненулевым, если хотя бы в одном разряде бу­дет 1, это говорит о том, что числа разные и отличаются они именно теми разрядами, в которых после выполнения операции «Исключающее ИЛИ» образовались единицы. Кстати, именно так компьютерный про­цессор сравнивает числа. Вырабатываемый (или невырабатываемый) сигнал «0» (сумматора) как раз и несет информацию об этом.