Вказівки до виконання лабораторних та контрольної робіт

1 2

6.1. Класичний метод визначення екстремуму

Приклад 6.1.

Розв’язок:

1. Знайдемо стаціонарні точки:

Розв’язком системи рівнянь є точка .

2. Матриця других похідних має вигляд:

3. Перевіримо кутові мінори:

4. По критерію Сильвестра матриця додатньо визначена, тоді - точка строгого локального мінімуму. Вона буде також точкою строгого глобального мінімуму, оскільки функція F(x,y) нескінченно зростаюча на .

5. F =-52.

Приклад 6.2.

Розв’язок:

Знайдемо стаціонарні точки:

Розв`яжемо систему:

Отже, точками, які задовольняють системі рівнянь, будуть

Матриця других похідних має вигляд:

Дослідимо першу групу точок:

Перевіримо кутові мінори: М₁=1>0, M₂=1∙2-0∙0>0. По критерію Сильвестра отримуємо, що матриця других похідних в точці , додатньо визначена. Отже, в цій точці маємо строгий локальний мінімум. Знайдемо значення функції F(x,y) в точці . Ця точка буде точкою глобального мінімуму задачі, оскільки

Дослідимо останню функцію однієї змінної на екстремум:

, отже, оскільки , то - точка її екстремуму. Значення функції . Це точка мінімуму , так як і .

Дослідимо другу групу точок:

Перевіримо кутові мінори М₁= e^-2>0, М₂= -e^-2 (1+e^-2)<0. Отже, матриця других похідних в цій точці знаконевизначена. Тому точка не є точкою екстремуму.

6.2. Задача планування випуску продукції

Для виготовлення виробів X, Y, Z (рис. 6.3) використовують 3 види сировини: I, II, III. У таблиці задано: норми витрат сировини на 1 виріб продукції кожного виду, ціна одного виробу, а також кількість сировини кожного виду, які можна використати. Скільки виробів кожного виду потрібно виготовити, щоб прибуток був максимальний?

Рис. 6.3

Це задача лінійного програмування і розв’язується за допомогою команди меню Сервис-Поиск решения (рис.6.4). Пошук рішення – це потужний засіб, що дозволяє в загальному випадку розв’язувати задачі як лінійного так і нелінійного програмування.

Математична модель задачі. Треба позначити черезX, Y, Z шукані кількості виробів трьох видів. Знайти X, Y, Z, для яких досягається максимум функції прибутку F=9X+10Y+16Z за таких обмежень:

18X+15y+12Z £360

6X+4Y+8Z £192

5X+3Y+3Z £180

X ³ 0, Y ³ 0, Z ³ 0.

Розв’язок:

1. Треба клітинам A1, B1, C1, D1 присвоїти імена X, Y, Z, F за допомогою команди меню Вставка- Имя-Присвоить.

2. У клітину D1 ввести формулу =9*X+10*Y+16*Z.

Рис. 6.4

3. Викликати команду меню Сервис-Поиск решения.

4. У діалоговому вікні Поиск решений:

а) в полі Установить целевую ячейку задати адресу цільової клітини $D$1.

б) встановити перемикач Равной максимальному значению;

в) в полі Изменяя ячейки вказати імена змінних X;Y;Z;

г) за допомогою кнопки Добавить у діалоговому вікні Параметры поиска решения ввести обмеження у вигляді нерівностей:

X<=(360-15*y-12*z)/18, Y<=(192-6*x-8*z)/4, Z<=(180-5*x-3*y)/5,

x>=0, y>=0, z>=0

Після введення кожної нерівності – клацнути на кнопці Добавить (рис.

6.5, 6.6), а потім – на кнопці ОК.

Рис. 6.5

Рис. 6.6.

д) натиснути на кнопці Параметр і у діалоговому вікні Параметры поиска решения вказати, що модель є Линейной, після чого клацнути на кнопці ОК.

є) у діалоговому вікні Поиск решений натиснути на кнопці Выполнить, після чого у клітинах A1:D1 висвічуються результати:

X=0; Y=8; Z=20; F=400

5. У діалоговому вікні Результаты поиска решения треба вибрати параметр Сохранить найденное решение.

6.3. Метод повного перебору (метод сіток)

Ідея метода полягає в тому, що допустиму область задачі нелінійного програмування розбивають площинами ( - номер змінної, k_i - номер площини, h_i - крок), перпендикулярними висям координат, на ряд підобластей. На перетині цих площин в області допустимих значень отримуємо точки В кожній з них обчислюємо значення цільової функції f(X) і отримуємо множину значень . З цієї множини значень вибираємо максимальне значення, якщо задача розв’язується на максимум цільової функції або мінімальне значення, якщо задача розв’язується на мінімум. Точка M_r, яка відповідає екстремальному значенню функції f(X) і вважається розв’язком задачі. Слід відмітити, що чим менше крок h_i, тим більше треба будувати площин і обчислювати точок M_s і тим точніше розв’язується задача. Але, чим більше точок M_s, тим більше обчислень треба провести, а чим більше змінних, тим більше точок M_s. Тому такий метод найчастіше використовується для задач з двома змінними.