Тема № 1. Статика твердого тела

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

Предмет статики. Статикой называется раздел механики, в котором изучаются законы сложения сил и условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием мы будем понимать состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам. Если тело, по отношению к которому изучается равновесие, можно считать неподвижным, то равновесие условно называют абсолютным, а в противном случае -относительным. В статике мы будем изучать только так называемое абсолютное равновесие тел. Практически при инженерных расчетах абсолютным можно считать равновесие по отношению к Земле или к телам, жестко связанным с Землей. Справедливость этого утверждения будет обоснована в динамике, где понятие об абсолютном равновесии можно определить более строго. Там же будет рассмотрен и вопрос об относительном равновесии тел.

Условия равновесия тела существенно зависят от того, является ли это тело твердым, жидким или газообразным. Равновесие жидких и газообразных тел изучается в курсах гидростатики и аэростатики. В общем курсе механики рассматриваются обычно только задачи о равновесии твердых тел.

Все встречающиеся в природе твердые тела под влиянием внешних воздействий в той или иной мере изменяют свою форму (деформируются). Величины этих деформаций зависят от материала тел, их геометрической формы и размеров и от действующих нагрузок. Для обеспечения прочности различных инженерных сооружений и конструкций материал и размеры их частей подбирают так, чтобы деформации при действующих нагрузках были достаточно малы. Вследствие этого при изучении общих условий равновесия вполне допустимо пренебрегать малыми деформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твердые.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается постоянным.

Чтобы твердое тело под действием некоторой системы сил находилось в равновесии (в покое), необходимо чтобы эти силы удовлетворяли определенным условиям равновесия данной системы сил. Нахождение этих условий является одной из основных задач статики. Но для отыскания условий равновесия различных систем сил, а также для решения ряда других задач механики, оказывается необходимым уметь складывать силы, действующие на твердое тело, заменять действие одной системы сил другой системой и, в частности, приводить данную систему сил к простейшему виду. Поэтому в статике твердого тела рассматриваются следующие две основные задачи:

1) сложение сил и приведение систем сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду;

2) определение условий равновесия действующих на твердое тело систем сил.

Сила. Состояние равновесия или движения данного тела зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами, т.е. от тех давлений, притяжений или отталкиваний, которые данное тело испытывает в результате этих взаимодействий. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Рассматриваемые в механике величины, можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их численным значением, и векторные, т.е. такие, которые, помимо численного значения, характеризуются еще и направлением в пространстве.

Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы.

Направление и точка приложения силы зависят от характера взаимодействия тел и их взаимного положения. Например, сила тяжести, действующая на какое-нибудь тело, направлена по вертикали вниз. Силы давления двух прижатых друг к другу гладких шаров направлены по нормали к поверхностям шаров в точках их касания и приложены в этих точках и т. д.

Графически сила изображается направленным отрезком (со стрелкой). Длина этого отрезка (АВ на рис. 1) выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, его начало (точка А на рис. 1) обычно совпадает с точкой приложения силы. Иногда бывает удобно изображать силу так, что точкой приложения является ее конец - острие стрелки (как на рис. 4 в). Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Силу обозначают буквой F. Модуль силы обозначается вертикальными черточками «по бокам» вектора. Системой сил называется совокупность сил, действующих на какое-нибудь абсолютно твердое тело.

Рис. 1.

Основные определения:

1. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

2. Если свободное твердое тело под действием данной системы сил может находиться в покое, то такая система сил называется уравновешенной.

3. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

4. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна может заменить действие данной системы, сил на твердое тело.

Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

5. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

6. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжестей его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

Рис. 2

Аксиомы статики. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержден­ных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F ₁ =F ₂ )и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 2).

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Рис. 3

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Точку приложения силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 3). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы F1 и F2,такие, что Fl = F, F2 = - F. От этого действие силы F на тело не изменится. Но силы F и F2 согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила Fl равная F, но приложенная в точке В.

Таким образом, вектор, изображающий силу F, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Полученный результат справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При инженерных расчетах этим результатом можно пользоваться лишь тогда, когда исследуется внешнее действие сил на данную конструкцию, т.е. когда определяются общие условия равновесия конструкции.

Например, изображенный на (рис.4а) стержень АВ будет находиться в равновесии, если F1 = F2. При переносе обеих сил в какую-нибудь точку С стержня (рис. 4, б), или при переносе силы F1 в точку В, а силы F2 в точку А (рис. 4, в), равновесие не нарушается. Однако внутреннее действие этих сил в каждом из рассмотренных случаев будет разным. В первом случае стержень под действием приложенных сил растягивается, во втором случае он не напряжен, а в третьем случае стержень будет сжиматься.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. Вектор К, равный диагонали параллело­грамма, построенного на векторах F₁ и F₂ (рис. 5), называется геометрической суммой векторов F₁ и F₂:

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна геометрической (векторной) сумме этих сил и приложена в той же точке.

Аксиома 4. Два материальных тела всегда действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны (кратко: действие равно противодействию).

Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой F, то одновременно тело В действует на тело А с силой F = - F (рис. 6). Однако силы F и F' не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.

Свойство внутренних сил. По аксиоме 4 любые две частицы твердого тела будут действовать друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами. Так как при изучении общих условий равновесия тело можно рассматривать как абсолютно твердое, то (по аксиоме 1) все внутренние силы образуют при этом условии уравновешенную систему, которую (по аксиоме 2) можно отбросить. Следовательно, при изучении общих условий равновесия необходимо учитывать только внешние силы, действующие на данное твердое тело или данную конструкцию.

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Если любое изменяемое (деформируемое) тело под действием данной системы сил находится в равновесии, то равновесие сохранится и тогда, когда тело отвердеет (станет абсолютно твердым).

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не должно нарушиться, если ее звенья сварить друг с другом; равновесие гибкой нити не нарушится, если она превратится в изогнутый жесткий стержень и т.д. Так как на покоящееся тело до и после отвердевания действует одна и та же система сил, то аксиому 5 можно еще выразить в другой форме: при равновесии силы, действующие на любое изменяемое (деформируемое) тело, удовлетворяют тем же условиям, что и для тела абсолютно твердого; однако для изменяемого тела эти условия, будучи необходимыми, могут не быть достаточными. Например, для равновесия гибкой нити под действием двух сил, приложенных к ее концам, необходимы те же условия, что и для жесткого стержня (силы должны быть равны по модулю и направлены вдоль нити в разные стороны). Но эти условия не будут достаточными. Для равновесия нити требуется еще, чтобы приложенные силы были растягивающими, т.е. направленными так, как на рис. 4а.

Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь и т. п.) или любую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела. Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то дополнительно составляют уравнения, учитывающие или условия равновесия отдельных частей конструкции, или их деформации.