Лекция 24 воспроизводимость результатов эксперимента

Математическая модель объекта (системы) может быть получена в виде уравнения связи выходной переменной (отклика) и входных переменных (факторов). Обычно она представляется в виде полиноминальной модели. В общем виде эта модель с безразмерными кодированными значениями факторов имеет вид

где y – отклик; – безразмерные кодированные значения факторов; – коэффициенты модели (полинома).

В модели с безразмерными кодированными значениями факторов план эксперимента не зависит от физики моделируемого процесса. Обычно достаточно варьирования факторов на двух уровнях. Это упрощает эксперимент и обработку его результатов. Число сочетаний уровней факторов (число опытов) эксперимента составляет N = 2 ^k (2 – число уровней факторов).

Эксперимент, в котором реализуется это число опытов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ) или экспериментом (планом) типа «2 ^k».

Условия эксперимента представляются в виде таблицы, называемой матрицей планирования или планом эксперимента.

Матрица планирования для двух факторов будет иметь вид

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Таким образом, данная таблица содержит два вектор-столбца входных, независимых, переменных (факторов) и один вектор-столбец выходной переменной (отклика) – парамет­ра оптимизации.

На реальный объект действует множество неуправляемых факторов, которые влияют на воспроизводимость результатов эксперимента и могут служить причиной ее нарушения. Поэтому каждый опыт матрицы планирования выполняется несколько раз, образуя серии параллельных опытов. Каждая серия должна включать все опыты матрицы планирования. Число серий параллельных опытов обычно составляет от 2 до 5. Оценка воспроизводимости опытов обычно осуществляется по значению дисперсии их воспроизводимости.

По результатам эксперимента находятся значения неизвестных коэффициентов модели (уравнения регрессии). Оценки коэффициентов уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов и для рассматриваемого типа ПФЭ вычисляются по простым соотношениям

Здесь величина соответствует значению отклика в указанной точке факторного пространства при отсутствии повторных опытов.

Она является оценкой математического ожидания

значений функции отклика по всем повторным опытам в данной точке.

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов полинома превращается в простую арифметическую процедуру.

Повторные опыты проводятся в тех случаях, когда на функционирование системы оказывают влияние случайные воздействия. Количество повторных опытов в разных точках плана может различаться.

После построения модели с безразмерными кодированными значениями факторов осуществляется переход к размерной модели (полиному), в которой факторы представлены в натуральных значениях (в своих размерностях). Отклик как в модели с безразмерными кодированными значениями факторов, так и в размерной модели имеет свою размерность.

Увеличение количества включенных в рассмотрение факторов приводит к значительному возрастанию числа опытов по показательной функции. Поэтому при полном списке факторов число различимых состояний исследуемого (моделируемого) объекта (системы) обычно очень велико. Уменьшение их числа может быть достигнуто отказом от полного перебора всех состояний объекта (системы).

При слабых зависимостях между факторами в ПФЭ оказывается много «лишних» опытов и нет необходимости их все реализовывать. Их в дальнейшем можно использовать для проверки адекватности и уточнения полученной модели. При исключении некоторых опытов эксперимент называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).

Для оценки коэффициентов полиномов второй и более высоких степеней можно использовать ротатабельные планы эксперимента. Эти планы годятся для любого числа факторов. Существует и множество других планов, которые можно использовать в экспериментах с целью исследования сложных систем: латинские квадраты, квадраты Юдена, сбалансированные блоки и др.

Довольно часто необходимо наблюдать в эксперименте несколько различных выходных переменных. Один из способов решения данной проблемы заключается в аддитивном объединении этих переменных с соответствующими весовыми коэффициентами.

Статистический анализ результатов эксперимента заключается в проверках значимости коэффициентов модели и ее адекватности.

Выше указаны различные планы эксперимента, которые можно использовать в машинных имитационных экспериментах. Более подробное их изложение приведено в конспекте лекций по дисциплине «Методы обработки данных».