Тема: Порядок элемента группы. Циклические группы

Основные понятия: порядок элемента группы, циклическая группа; описание подгрупп циклической группы.

Задание 1. Найти порядок элементов или b данной группы:

1) ; ;

2) ; ;

3) ; ;

4) ; ; - поворот на в группе D₁₈;

5) ; ;

6) ; ; ;

7) ; - поворот на в группе D₁₂;

8) ; ;

9) ; ;

10)

11) ; ;

12) - поворот на в группе D₁₅; .

Задание 2. Найти порядок элемента , если порядок равен :

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

Задание 3. Найти все подгруппы циклической группы порядка:

1) 36; 2) 54; 3) 28; 4) 98; 5) 120; 6) 48; 7) 52; 8) 64; 9) 200; 10) 96; 11) 150; 12) 132.

Задание 4.

1. Доказать, что пересечение двух подгрупп является подгруппой.

1. Доказать, что во всякой группе элементы ху и ух имеют один и тот же порядок.

1. Доказать, что во всякой группе элементы х и уху^-1 имеют один и тот же порядок.

1. Доказать, что во всякой группе четного порядка имеется элемент порядка 2.

1. Доказать, что группа, в которой все элементы имеют порядок 2, коммутативна.

1. Доказать, что периодическая часть коммутативной группы является подгруппой.

1. Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порядки которых делят фиксированное число n, является подгруппой. Верно ли это утверждение для некоммутативной группы?

1. Доказать, что объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой.

1. Доказать, что если подгруппа С содержится в объединении подгрупп А и В, то либо С содержится в А, либо С содержится в В.

1. Пусть элементы х и у группы G имеют конечный порядок и ху = ух. Доказать, что если порядки элементов х и у взаимно просты, то порядок произведения ху равен произведению их порядков.

1. Пусть элементы х и у группы G имеют конечный порядок, и ху = ух. Найти порядок элемента х у.

1. Доказать, что если в коммутативной группе G есть элементы бесконечного порядка, и все они содержатся в подгруппе H, то H совпадает с G.