Лабораторная работа №1 по эконометрике

Нелинейная регрессия

При изучении зависимости экономических показателей на основе реальных статистических данных можно сделать вывод, что линейные зависимости встречаются не так часто. Их используют лишь как частный случай для удобства и наглядности рассмотрения протекаемого экономического процесса. Так, затухающие гармонические (или негармонические) колебания (рис. 1, а) с экономической точки зрения могут характеризовать объемы продаж сезонного товара на этапе ухода с рынка. Зависимость, график которой приведен на рис. 1, б, может характеризовать, например, жизненный цикл товара, а график зависимости на рис. 1, в, – ремаркетинг (повторный маркетинг, «оживление» идущего на спад товара посредством новой рекламной кампании или рекламирование его на новом целевом рынке) или конверсия производства (существенное преобразование, изменение условий, замена одних объектов производства другими).

Существует ещё так называемая кусочная функция, которая на разных участках области определения может быть задана разными аналитическими выражениями. Один из самых простых её видов – кусочно-линейная функция, в которой каждая входящая кусочная функция является линейной (рис. 1, г).

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) нелинейные по оцениваемым параметрам.

Класс регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам, включает уравнения, в которых зависимая переменная линейно связана с параметрами. Примерами таких регрессий могут служить:

- полиномы разных степеней

;

- равносторонняя гипербола

;

- ;

- .

При оценке параметров регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, используется метод замены переменных. Суть его состоит в замене нелинейных объясняющихся переменных новыми, линейными переменными, в результате чего нелинейная регрессия сводится к линейной. К новой, преобразованной регрессии может быть применен обычный метод наименьших квадратов.

К классу регрессий, нелинейных по оцениваемых параметрам, относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами. Примерами таких регрессий являются функции:

- степенная функция

;

- показательная функция

;

- экспоненциальная функция

;

- логарифмическая парабола

;

- обратная функция

;

- кривая Гомперца

;

- логистическая функция (кривая Перла-Рида)

.

Показательная, логарифмическая и экспоненциальная функции называются кривыми насыщения, потому что дальнейший прирост результативной переменной зависит от уже достигнутого уровня функции. Они используются для описания процессов, имеющие предел роста в изучаемом периоде, например, в демографии.

Кривая Гомперца и кривая Перла-Рида относятся к так называемым S-образным кривым. Это кривые насыщения, которые имеют точку перегиба. Это кривые описывают два последовательных процесса – один с ускорением развития, другой с замедлением достигнутого развития. Этот тип кривых применяется в демографии, в страховании, при решении задач о спросе на новый товар.

Нелинейные по параметрам регрессионные модели, в свою очередь, делятся на модели, подлежащие линеаризации (внутренне линейные модели), и модели, которые невозможно свести к линейным (внутренне нелинейные модели).

При оценке параметров регрессий, нелинейных по параметрам, часто используется метод логарифмирования, а после, возможно, нужно ещё будет воспользоваться методом замены переменных.