Практическая часть. Задание 1. Найти производные указанных порядков

Задание 1. Найти производные указанных порядков:

f^’(x)=axⁿ, f’(x)= sin(x), f’(x,y)= cos(x)y³, f”(x,y)= cos(x)y³,f””(x)=cos(2x)².

>Diff(a*x^n,x)=diff(a*x^n,x);

> Diff(sin(x),x)=diff(sin(x),x);

> f(x,y):=cos(x)*y^3;

> Diff(f(x,y),x)=diff(f(x,y),x);

> Diff(f(x,y),x$2,y$2)=diff(f(x,y),x$2,y$2);

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

> simplify(%);

> combine(%);

Задание 2. Вычислить вторую производную функции f(x)=sin²(x)/(2+sin(x)) в точках x =p/2, x =p.

> y:=sin(x)^2/(2+sin(x)): d2:=diff(y,x$2):

> x:=Pi; d2y(x)=d2;

x:=p d2y(p)=1

> x:=Pi/2;d2y(x)=d2;

х:=

Задание 3. Найти значения определенных интегралов

а) , б) .

>Int(sin(x)/x,x=0..1.)=evalf(int(sin(x)/x, x=0..1),3);

>Int(x*exp(-x),x=0..infinity) = evalf(int(x*exp(-x), x=0..infinity),1);

Задание 4. Найти неопределенные интегралы:

а) ; б) .

>Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=int(cos(x)* cos(2*x)*cos(3*x),x);

>Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)=int((3*x^4+4)/ (x^2*(x^2+1)^3),x);

Задание 5. Найти определенный интеграл

, при условии a >0, b >0.

> assume (a>0); assume (b>0);

> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),

x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*

sin(x)^2),x=0..Pi/2);

и несобственный интеграл , при условии a >-1.

> assume(a>-1);

>Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),x=0..+infinity) =int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)), x=0..+infinity);

Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения y '+ y cos x =sin x cos x.

> restart;

> de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

de: =

> dsolve(de,y(x));

1

Задание 7. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y ''-2 y '+ y =sin x + e ^{- x}.

> restart;

> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)

=sin(x)+exp(-x);

deq:=

> dsolve(deq,y(x));

Задание 8. Найти решение задачи Коши:

y ⁽⁴⁾+ y ''=2cos x, y (0)=-2, y '(0)=1, y ''(0)=0, y '''(0)=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

> cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0,

(D@@3)(y)(0)=0;

cond:= y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D⁽²⁾)(y)(0)=0, (D⁽³⁾)(y)(0)=0

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=-2cos(x)- x sin(x)+ х

Задание 9. Найти решение краевой задачи:

, , . Построить график решения.

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

de: =

> cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2 x -p+pcos(x)

Замечание: для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

> y1:=rhs(%):plot(y1,x=-10..20,thickness=2);

Задание 10. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

> sys:=diff(x(t),t)=-4*x(t)-2*y(t)+2/(exp(t)-1),

diff(y(t),t)=6*x(t)+3*y(t)-3/(exp(t)-1):

> dsolve({sys},{x(t),y(t)});

Найдены две функции x (t) и y (t), которые зависят от двух произвольных постоянных _ С1 и _ С2.

Задание 11. Нарисовать график решения дифференциального уравнения:

, , ,

в интервале .

> restart; with(DЕtools):

> DEplot(diff(y(x),x$3)+x*sqrt(abs(diff(y(x),x)))

+x^2*y(x)=0, {y(x)}, =-4..5, [[y(0)=0,D(y)(0)=1,

(D@@2)(y)(0)=1]], stepsize=.1, linecolor=black,

thickness=2);

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти значение первой и второй производных функции f(x).

Вари-ант	Условие	Вари-ант	Условие
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .

Задание 2. Найти значение определенного интеграла, дать графическую интерпретацию решения.

Вариант	Условие	Вариант	Условие

Задание 3. Решить дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений. Проиллюстрировать решение графически.

Вариант	Условие	Условие
	y''(x)=x∙sin(x) y(0)=1, y′(0)=2, y′′(0)=1	y′ = y∙z + x; z′= x2 - y2. y(0)=1, z(0)=2;
	y′′′(x)+2y′(x)=x2; y(0)=1, y′(0)=2, y′′(0)=1	y′= y∙x + 2∙z; z′ = y - 4∙z. y(1)=1, z(1)=0.
	y′′′(x)+2y′(x)=e2x; y(0)=1 y′(0)=2, y′′(0)=1	y′ = 4x2 + y/(x+1); z′ = e-(x2+y2) + z. y(0)=1, z(0)=0.5, a=0, b=1
	y′′′(x)+5y′(x)=e2x + sin(4x); y(0)=1, y′(0)=2, y′′(0)=1	y′ = y∙z/x; z′ = x/z; y(1)=0, z(1)=0.5.
	10y′′(x)+7y′(x)=e7x y(0)=1, y′(0)=2	y′ = ln(2∙x + (9x2 +z2)1/2); z′ = (9x2 +y2)1/2)+x∙sin(2∙x); y(0)=0, z(0)=0.5.
	10y′′+2y′=x∙sin(4x) y(0)=1, y′(0)=2	y′ = z2 + x; z′ = y∙x; y(1)=0, z(1)=10.
	5y′′(x)+y′(x)=x∙e-x y(0)=1, y′(0)=2	y′ = y∙cos(x) – z∙sin(x); z′ = y∙sin(x)+ z∙cos(x); y(0)=0, z(0)=2.
	3∙z′′(x)+z′(x)=x∙sin(x) z(0)=0, z′(0)=1	y′ = 2∙cos(3∙y+z); z′ = x/(4∙y+x)+x+11; y(0)=3, z(0)=3.
	y′′′(x)+3∙y′′(x)=x2 y(0)=1, y′(0)=0	y′ = y + x∙(x+5); z′ = x - z3; y(0)=1, z(0)=-0.1.
	4∙y′′(x)+2∙y′(x)=x2 y(0)=1, y′′(0)=0	y′ = y∙z + x∙cos(x); z′ = -z2 +10 ∙x; y(0)=0, z(0)=0.2.