Функции двух переменных

Функции двух переменных f (a, b) являются основными функциями алгебры логики. Четырем наборам двух входных переменных соответствует 16 возможных логических функций, которые приведены в таблице 1.4. Можно заметить, что шесть из них встречались среди функций одной переменной. Функции f₀ и f₁₅ являются соответственно константой нуля и единицы.

Функции f₁₀ и f₁₂ являются функциями повторения и зависят каждая только от одной из двух входных переменных.

Функции f₃ и f₅ есть инверсии одной из входных переменных, являются фактически функциями только одной переменной.

Из остающихся десяти функций две (f₂ и f₁₃) не являются единственными, так как они отличаются от соответствующих им функций f₄ и f₁₁ лишь порядком расположения входных переменных.

Функция f₁ = a¯b называется стрелкой Пирса. Ее еще называют инверсией суммы, функцией ИЛИ—НЕ, функцией НИ... НИ..., функцией Даггера, функцией Вебба. Иногда ее обозначают как aOb, aÑb. Для этой функции имеют место следующие соотношения:

Функцию f₄ = ab в технических приложениях называют запретом. Для нее справедливы следующие соотношения:

a0=a; a1=0;

aa=0; .

Функция f₆ = aÅb называется неэквивалентностью. Еще называют исключающим ИЛИ, неравнозначностью, альтернативой, сложением по модулю 2, разноименностью и обозначают посредством символов ¹, Ñ, D, @. Для этой функции имеют место соотношения:

Функция f₇ = a/b называется штрих Шеффера, а также инверсией произведения, функцией И—НЕ, несовместностью. Для нее справедливы следующие соотношения:

.

Таблица 1.4 Функции двух переменных

	Функция	Таблица вероятности	Символьное обозначение	Содержание логической функции
a
b
	Нулевая	f0						Функция никогда не имеет значения 1, каким бы ни были значения переменных
	Стрелка Пирса (функция ИЛИ-НЕ)	f1					a ↓ b	Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют значение 0
	Запрет а	f2					b ← a	Функция имеет значение 0, если переменная а имеет значение 1, каким бы при этом ни было значение переменной b. Значения функции совпадают со значениями переменной b, если переменная а имеет значение 0
	Инверсия а (функция НЕ а)	f3						Функция имеет значение, обратное значению переменной а, и не зависит от значения переменной b
	Запрет b	f4					a ← b	Функция имеет значение 0, если переменная b имеет значение 1, каким бы при этом ни было значение переменной а. Значения функции совпадают со значениями переменной а, если переменная b имеет значение 0
	Инверсия b (функция НЕ b)	f5						Функция имеет значение, обратное значению переменной b, и не зависит от значения переменной а
	Неэквивалентность (исключающая ИЛИ)	f6						Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда, либо переменная а, либо переменная b имеет значение 1 (но не обе вместе)
	Штрих Шеффера (функция И-НЕ)	f7					a / b	Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют значение 1
	Конъюнкция (функция И)	f8					ab	Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда и переменная а, и переменная b, имеют значение 1
	Эквивалентность (равнозначность)	f9						Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют одинаковое значение, и значение 0, когда переменные имеют разное значение
	Повторение b	f10					b	Функция повторяет значение переменной b независимо от значения переменной а
	Импликация b	f11					a → b	Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда переменная а имеет значение 1, а переменная b имеет значение 0
	Повторение а	f12					a	Функция повторяет значение переменной а, независимо от значения переменной b
	Импликация а	f13					b → a	Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда переменная b имеет значение 1, а переменная а имеет значение 0
	Дизъюнкция (функция ИЛИ)	f14					a + b	Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют значение 0. Функция имеет значение 1, когда или переменная а, или переменная b, или обе вместе имеют значение 1
	Единичная	f15						Функция всегда имеет значение 1, каким бы ни были значения переменных

Таблица 1.4 Функции двух переменных (продолжение)

	Структурная формула	Условное обозначение	Совершенные нормальные формы
дизъюнктивная	конъюнктивная
			-
				-

Функция f₈ = ab называется конъюнкцией. Ее еще называют произведением, логическим умножением, функцией И, пересечением и обозначают с помощью символов L, Ç, &. Для этой функции справедливы следующие соотношения:

a*0 = 0; a*1 = a;

Функция f₉ = a º b называется эквивалентностью, а также равнозначностью. Для ее обозначения употребляют символы º, «. Для нее имеют место соотношения:

Функция f₁₁ = a®b называется импликацией (иногда включением). Для нее справедливы соотношения:

Функция f₁₄ = a+b называется дизъюнкцией, а также суммой, логическим сложением, функцией ИЛИ, объединением. Для ее обозначения справедливы следующие равенства:

a + 0 = a; a + 1 = 1; a + a = a; a + = 1.

Существует два стандарта обозначения логических элементов на схемах. Первое обозначение используется в основном в англоязычной литературе, второе – в отечественной и рекомендовано ГОСТ. На рис. 1.1 и рис. 1.2 представлены условные обозначения основных элементов.

Рис. 1.1 Условные графические Рис. 1.2 Условные графические

обозначения буфера (а) и инвертора (б) обозначения функций:

а) - И; б) – ИЛИ; в) - И-НЕ;