Построение структурной формы системы одновременных уравнений

Лабораторная работа №8

Цель работы: построить на основе статистических данных модель структурной формы системы одновременных уравнений косвенным методом наименьших квадратов.

ТЕОРИЯ

Многие экономические взаимосвязи допускают моделирование одним уравнением. Например, В большинстве случаев использование МНК для оценки параметров таких моделей является наиболее подходящей процедурой. Но объектом статистического изучения в социальных, в частности экономических науках, являются сложные системы. Сложные системы моделируются не одним, а несколькими уравнениями, содержащими как повторяющиеся, так и собственные переменные. В силу этого возникает необходимость использования систем уравнений.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

1. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

(1)

Набор факторов в каждом уравнении может варьироваться.

Так модель вида:

(2)

также является системой независимых уравнений.

Пример 1. Примером системой независимых уравнений является модель экономической эффективности с/х производства. Зависимые переменные: продуктивность коров, себестоимость 1ц молока. Факторы: специализация хозяйства, затраты труда.

(3)

Каждое уравнение системы независимых переменных можно рассматривать самостоятельно. Для нахождения его параметров используется МНК. По сути, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.

А поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, то в уравнениях присутствует свободный член . Так система независимых уравнений при трех зависимых переменных и 4-х факторах имеет вид:

(4)

2. Если зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении, то можно построить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

(5)

Пример 2. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида:

(6)

где – производительность труда; – фондоотдача; – фондовооруженность труда; – энерговооруженность труда; – квалификация рабочих. И в данном случае каждое уравнение можно рассматривать самостоятельно, и его параметры определяются МНК.

3. Наибольшее распространение получила в эконометрических исследованиях система взаимозависимых уравнений.

В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы.

(7)

Определение 1. Система взаимосвязанных уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений, поскольку одни и те же переменные рассматриваются как независимые переменные в одних уравнениях, так и зависимые переменные – в других уравнениях.

В эконометрике такая система уравнений называется также структурной формой модели. Параметры системы совместных, одновременных уравнений не могут быть найдены МНК.

Пример 2. Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы:

, (8)

где – темп изменения месячной заработной платы; – темп изменения цен; – % безработных; – темп изменения постоянного капитала; – темп изменения цен импорт сырья.

Системы эконометрических уравнений могут содержать тождества. Тождестване содержат параметров, подлежащих оценке, и не включают случайного члена. Пример тождества – тождества дохода:

, (9)

где – совокупный доход в период , – расходы на потребление в период , – инвестиции в период , – государственные расходы в период .

Система совместных, одновременных уравнений обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Определение 2. Эндогенныепеременные – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Обозначены как .

Определение 3. Экзогенные переменные обозначаются обычно через . Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них.

Простейшаяструктурная форма модели имеет вид:

. (10)

Здесь – эндогенные переменные; – экзогенные переменные.

Классификация переменных на экзогенные и эндогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные – как эндо-, так и экзогенные. Внеэкономические переменные обычно выступают как экзогенные, например, климатические условия. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Коэффициенты и являются структурными коэффициентами модели.

Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, то есть , поэтому свободный член в каждом уравнении отсутствует. Использование МНК для оценивания коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов модели структурная форма преобразуется в приведенную форму модели:

. (11)

Здесь коэффициенты – коэффициенты приведенной формы модели – представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Покажем это на примере простейшей структурной формы:

(12)

Выразим из первого уравнения и подставим полученное выражение во второе уравнение:

После алгебраических преобразований получаем уравнение:

Таким образом, получена приведенная форма первого уравнения модели: , где .

Аналогично можно получить значения .

Из уравнений видно, что они являются нелинейными функциями коэффициентов структурной формы модели. Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы или приведенными коэффициентами. Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК, поскольку экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом.

Полученные МНК приведенные коэффициенты используем для нахождения параметров и структурной формы модели:

(13)

(14)

При переходе от приведенной формы модели к структурной возникает проблема идентификации. Тот или иной структурный коэффициент может либо однозначно выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь несколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них.

Определение 4. Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единствен (имеет одну оценку); сверхидентифицируемым,если он имеет несколько разных оценок; в противном случае он называется неидентифицируемым.

Определение 5. Какое-либо структурное уравнение называется идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты.

Определение 6. Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо.

Порядковое условие для идентификации или счетное правило формулируется следующим образом. Пусть – число предопределенных переменных, отсутствующих в анализируемом (рассматриваемом) уравнении, но присутствующих в системе; – число эндогенных переменных. Предопределенные переменные – это экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные.

Необходимое условие идентификации (НУИ): – уравнение идентифицируемо; – уравнение неидентифицируемо; – уравнение сверхидентифицируемо. Достаточное условие идентификации (ДУИ):

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы:

. (15)

Пример 4. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

(16)

Решение:

Проверим, выполняются ли НУИ и ДУИ для каждого из уравнений.

1) Первое уравнение.

НУИ: уравнение содержит две эндогенных переменных , то есть , в уравнении отсутствует одна экзогенная переменная , следовательно, . Необходимое равенство выполняется, так как .

ДУИ: в первом уравнении отсутствуют переменные и . Построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие в 1-м уравнении переменные
Второе
Третье

Таким образом, первое уравнение идентифицируемо.

2) Второе уравнение.

НУИ выполняется, так как , отсутствуют экзогенные переменные . , так как уравнение содержит три эндогенные переменные: . Условие выполняется, так как .

Проверяем выполнение ДУИ.

Уравнение	Отсутствующие в 2-м уравнении переменные
Первое
Третье

ДУИ выполняется. Второе уравнение идентифицируемо.

3) Третье уравнение.

НУИ выполняется, так как , отсутствует одна экзогенная переменная . , так как уравнение содержит две эндогенные переменные: . Условие выполняется, так как .

Проверяем выполнение ДУИ.

Уравнение	Отсутствующие в 3-м уравнении переменные
Первое
Второе

.

ДУИ выполняется. Третье уравнение идентифицируемо.

Вывод: исследуемая система точно идентифицируема.

Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

- косвенный МНК;

- двухшаговый МНК;

- трехшаговый МНК;

- метод максимального правдоподобия с полной информацией;

- метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

КМНК применяется для оценки параметров идентифицируемой системы одновременных уравнений. ДМНК – для оценки параметров сверхидентифицируемой модели.

Процедура применения данного метода предполагает выполнение следующих этапов работы:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели МНК (обычным) оцениваются приведенные коэффициенты .

3. Приведенные коэффициенты пересчитываются в параметры структурной модели и .

4. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.

5. Выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют ДМНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

6. Обычным МНК определяют структурные параметры, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Имеются данные за 1990-1997 гг.

Год	Годовое потребление свинины На душу населения, фунтов,	Оптовая цена за фунт, долл.,	Доход на душу населения, долл.,	Расходы по обработке мяса, % к цене,
		5,0
		4,0
		4,2
		5,0
		3,8
		3,8
		4,0
		3,6

Необходимо построить систему одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

(*)

Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2 = 1 + 1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы. Для определения параметров этой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

(**)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Откройте Excel. Введите исходные данные в виде столбцов.

2. Рассчитайте средние значения всех признаков.

3. Рассчитайте отклонения каждого значения от среднего.

Год	Годовое потребление свинины На душу населения, фунтов,	Оптовая цена за фунт, долл.,	Доход на душу населения, долл.,	Расходы по обработке мяса, % к цене,
		5,0
		4,0
		4,2
		5,0
		3,8
		3,8
		4,0
		3,6
Среднее значение	…	…	…	…
Отклонение от средних
	…	…	…	…
	…	…	…	…
	…	…	…	…
	…	…	…	…
	…	…	…	…
	…	…	…	…
	…	…	…	…
	…	…	…	…

4. Чтобы найти параметры системы (**) методом МНК необходимо воспользоваться программе Excel следующими процедурами: Сервис/Анализ данных/Регрессия. Сначала найдите параметры уравнения регрессии , а затем . При построении уравнения необходимо использовать переменные, выраженные в отклонениях от среднего уровня.

5. Запишите полученную систему в бланк отчета.

6. Преобразуйте приведенную форму системы одновременных уравнений в структурную с помощью следующих соотношений

7. Запишите в бланк отчета структурную форму системы одновременных уравнений.

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры применения систем одновременных уравнений при анализе экономических процессов.

2. Структурная и приведенная формы одновременных уравнений. Эндогенные и экзогенные переменные.

3. Понятие идентифицированного структурного уравнения. Необходимое условие идентификации.

4. Методы оценивания коэффициентов структурной модели.