Операции с матрицами и векторами

Предварительно столбец Х целесообразно транспонировать в строку Х^T командами Правка Þ Специальная вставка Þ Транспонировать или функцией массива ТРАНСП(F2:F4), выделяя диапазон транспонирования В6:D6, вызывая функцию и нажимая затем комбинацию клавиш Shift + Ctrl + Enter (рис. 24.1)..

Рис. 24.1. Рабочий лист Excel – начальная часть модели межотраслевого баланса

Составляется структурная матрица А из элементов – коэффициентов прямых затрат

а_ij = b_ij/ x_j.

В ячейку В8 вводится формула в формате = В2 / В$6 и копируется в диапазон В8:D10. Получается матрица, которой присваивается имя А.

На рис. 24.2 показано продолжение на рабочем листе Excel модели межотраслевого баланса.

«Вручную» в диапазон B12:D14 создается единичная матрица Е, и ей присваивается такое же имя. С использованием единичной матрицы рассчитывается матрица

ЕА = Е – А.

Вычисление матрицы ЕА выполняется по формуле массива.:

· предварительно выделяется диапазон ячеек B16:D18 для ввода матрицы;

· без снятия выделения набирается формула = Е – А со ссылками на присвоенные матрицам имена (она автоматически заключается в фигурные скобки);

· нажимается комбинация клавиш Shift + Ctrl + Enter.

Проверяются условия Хаукинса – Саймона по определителям:

· |EA3| всей (3 ´ 3) матрицы ЕА в ячейке F12, куда вводится функция вычисления определителя =МОПРЕД(B16:D18);

·. |EA2 | матрицы ЕА без последних столбца и строки (2 ´ 2) путем ввода функции =МОПРЕД(B16:С17) в ячейке F13;

· |EA1 | матрицы ЕА, сокращенной еще на один столбец и строку, то есть до ячейки В16 (формально для этого в ячейку F14 также можно ввести функцию =МОПРЕД(B16), но и без того понятно, что такой определитель равен абсолютному значению ячейки В16).

Рис. 24.2. Рабочий лист Excel – продолжение модели межотраслевого баланса

Все определители положительны. Следовательно, в экономической системе со структурной матрицей А условия Хаукинса – Саймона выполняются, и вектор выпуска Х = (Е – А) ^-1Y, все компоненты которого неотрицательны, для вектора спроса Y существует.

Для обращения матрицы ЕА (получения матрицы полных затрат) выделяется диапазон B20:D22 и вводится функция =МОБР(B16:D18) нажатием комбинации клавиш Shift + Ctrl + Enter. В диапазон F16:F18 вводится новый вектор спроса Y нов. Новый вектор выпуска X нов. вычисляется умножением матрицы полных затрат EA обр. на новый вектор конечного спроса Y нов.: выделяется диапазон F20:F22 и туда вводится функция =МУМНОЖ(B20:D23; F16:F18) нажатием комбинации клавиш Shift + Ctrl + Enter.

Вторая задача состоит в определении изменений выпуска каждым сектором при увеличении спроса на транспортные услуги на 5 %. Такому увеличению транспортных услуг соответствует 5 % транспортной компоненты вектора X нов., вычисляемое в ячейке В25 по формуле

= F22*0,05.

Значение в ячейке В25 отражает увеличение транспортной компоненты вектора конечного спроса Y нов. Соответствующее изменение выпуска каждым сектором является вектором, который находится как произведение увеличения транспортной компоненты вектора конечного спроса Y нов. на транспортную компоненту матрицы полных затрат EA обр. – ее последний столбец. Для этого предварительно выделяется диапазон F23:F25 и туда, как формула массива, вводится =В25*D20:D22.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое экономико-математическая модель Леонтьева?

2. Какова структура таблицы межотраслевого баланса? В чем ее смысл?

3. Как понимаются замкнутые и открытые экономические системы?

4. Что выражают коэффициенты прямых затрат, как их еще называют?

5. Как еще называется структурная матрица, каков ее состав?

6. Что такое вектор выпускаемой продукции? Каковы его компоненты?

7. Как понимается вектор спроса, из каких компонентов состоит?

8. В чем состоит основная задача межотраслевого баланса?

9. Какими компонентами характеризуется матрица полных затрат?

10. При каких условиях удовлетворяется вектор спроса?