Уравнение баланса в матричной форме

Для матричного представления уравнения баланса вводятся обозначения:

· Х – вектор выпускаемой продукциис компонентами x ₁, x _{2 ,}, …, x_n;

· Y – вектор спроса (конечного продукта) с компонентами y ₁, y _{2 ,}, …, y_n;

· А – структурная матрица экономики (матрица прямых затрат или технологическая матрица) сэлементами (коэффициентами прямых затрат) а_ij;

· Е – единичная матрица с основным свойством ЕХ = ХЕ = Х имеет вид

E = . (10.4)

Уравнение баланса в матричной формевыражается как

(Е – А) Х = Y. (10.5)

Одна из задач состоит в том, чтобы для структурной матрицы в условиях баланса определить совокупный выпуск, удовлетворяющий заданный спрос.

Предполагается:

· при изменении спроса коэффициенты прямых затрат постоянны;

· имеется линейная связь между выпуском и затратами;

· происходит пропорциональное изменение затрат всех производящих секторов при изменении выпуска хотя бы в одном секторе.

Коэффициентами пропорциональности этой связи являются элементы структурной матрицы. Следовательно, линейная модель «затраты – выпуск» отражает связь выпуска со спросом и определяет совокупный выпуск в каждом секторе для удовлетворения изменившихся потребностей общества посредством матричного уравнения (10.5). Если матрица Е – А обратима, то

Х = (Е – А) ^-1Y. (10.6)

В обращенной матрице

D = (Е – А) ^{- 1} = { D_ij } (10.7)

элементы d_ij связаны с компонентами векторов Х и Y

(10.8)

Элемент d_ij матрицы (10.7) показывает, на сколько возрастает выпуск в i -м секторе x_i, при увеличении на единицу конечного спроса y_j на продукцию j- го сектора. Матрица D называется матрицей полных затрат.