Теоретическое введение

Лабораторная работа № 5

Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера

Методом крутильных колебаний

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: трифилярный подвес, секундомер, линейка, 2 груза.

Теоретическое введение

Трифилярный подвес (рис.1) представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укрепленных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящий через ее середину. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения.

Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно

E₁=mgh,

где g – ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией, равной

где I – момент инерции платформы, w₀- угловая скорость платформы в момент достижения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения энергии имеем

(1)

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения платформы от времени в виде:

где b - угловое смещение платформы, a - амплитуда смещения, Т – период колебания, t – текущее время. Угловая скорость w, являющаяся первой производной b по времени, выражается так:

В момент времени прохождения через положение равновесия ( Т/2, Т, 3Т/2 и т.д.) абсолютное значение этой величины будет

(2)

На основании выражений (1) и (2) имеем

(3)

Если l – длина нитей подвеса, R- расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус верхнего диска, то легко видеть (рис.2), что

Так как

то

При малых углах a отклонение значения синуса этого угла можно заменить просто значением a, а величину знаменателя положить равной . Учитывая это, получаем

Тогда на основании (3)

откуда

(4)

По формуле (4) может быть определен момент инерции как самой платформы, так и тел, положенных на нее, так как все величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены.

Сначала определяют по формуле (4) момент инерции пустой платформы I_д. Так как величины l, R, r и масса платформы даются как постоянные прибора, то определяют только период колебаний пустой платформы. Для этого сообщают платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время некоторого числа (например, 10) полных колебаний.

После этого платформу нагружают исследуемым телом, масса которого должна быть предварительно определена путем взвешивания, и вновь определяют период колебания Т всей системы. Затем, пользуясь формулой (4), вычисляют момент инерции I₁ всей системы, принимая ее массу m равной сумме масс тела и платформы. Величина момента инерции тела определяется как разность I = I₁ – I_д.

При помощи трифилярного подвеса может быть проверена и теорема Штейнера, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Сначала определяют моменты инерции этих тел, положив их одно на другое в середине платформы.

Затем оба тела располагают симметрично на платформе и определяют момент инерции при таком расположении. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения. Зная это расстояние, массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить указанную теорему.

Тела на платформе необходимо класть строго симметрично так, чтобы не было перекоса платформы. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 5-6⁰.