Комбинационная логика

Обладая тремя БЛЭ (И, ИЛИ, НЕ) можно, соединяя их между собой по определенным правилам, получить составные (комбинационные) ЛЭ, выполняющие более сложные ЛФ. Если при этом не использовать обратных связей и временных задержек, то получатся различные комбинационные устройства.

Начнем с простейших комбинаций, которые уже были рассмотрены выше в различной элементной базе.

На выходе ЛЭ И поставим инвертор НЕ. Собираем в программе EWB схему из двух БЛЭ DD1 AND и DD2 NOT (смотри рисунок 5а).

Проведя эксперименты с этой схемой, видим, что Y=0 только в одном случае: А=1, В=1. Подобный элемент, как уже указывалось, называется И-НЕ, на английском - NAND. Этот ЛЭ в ‘собранном’ виде имеется в наборе БЛЭ и выбирается по пиктограмме с его УГО 2-lnput NAND Gate - двухвходовый ЛЭ И-НЕ. Здесь к выходу ЛЭ & дорисован кружок, обозначающий инверсию сигнала. Заменив в схеме рисунок. 5,а ЛЭ DD1 AND и DD2 NOT на DD1 NAND, получаем схему, показанную на рисунке 5,б. Испытания этого элемента дают ТИ, показанную на рисунке 5, в. Сопоставляя эту таблицу с таблицей для ЛЭ AND, показанной на рисунке 2,а, видим, что они связаны инверсией выходного столбца Y.

а)	б)	в)
Рисунок-5 БЛЭ И-НЕ (EWB)

Теперь проделаем аналогичные операции, только используя ЛЭ ИЛИ. Для этого в предыдущих схемах (смотри рисунок 5,а) заменим ЛЭ DD1 AND на ЛЭ DD1 OR и соответственно на рисунке 5,б ЛЭ DD1 NAND на ЛЭ DD1 NOR. В результате получим схемы для ЛЭ И-НЕ, по-английски NOR (смотри рисунок 6).

а)	б)	в)
Рисунок 6 БЛЭ ИЛИ-НЕ(ЕМВ)

ТИ этого ЛЭ (смотри рисунок 6,б) дает Y=1 только при нулевых сигналах на входе (А=0, В=0) и является инверсной по выходному столбцу Y к ТИ, показанной на рис. 3,а. В программе EWB ЛЭ NOR, будто бы не включенный по входам, даст на своем выходе 1, что может привести к сбоям в работе моделей устройств.

Совет

При сборке схем, особенно в программе EWB, отдельные компоненты могут касаться друг друга выводами, а соединение (виртуальная ‘спайка’) будет отсутствовать, поэтому старайтесь избегать непосредственных соединений и используйте дополнительные соединительные провода или монтажные узлы.

Рассматривая ТИ ЛЭ NAND и NOR или, как уже говорилось, элементов Шеффера и Пирса, видим, что при А=В, т.е. в двух случаях (нулевых или единичных сигналов), оба эти элемента превращаются в обыкновенный инвертор. Это можно легко проверить в виртуальном эксперименте, показанном на рисунке 7.

а)	б)
Рисунок- 7 Инвертор из БЛЭ Шеффера и Пирса

Теперь решим одну практическую задачу, на которой покажем последовательность разработки комбинационных логических схем и, заодно, познакомимся еще с одним полезным виртуальным прибором.

Задача о мажоритарном элементе (начало)

1. Словесное описание задачи.

Часто при выборе альтернативных решений используется процедура голосования, при которой ‘побеждает большинство’. Поскольку должен быть перевес хотя бы в один голос, то, отбрасывая авторитарный случай (единоличные решения) и считая голосующих равноправными, получаем, что минимальное число лиц, принимающих решение, например судей в коллегии, должно быть равно трем. В логике соответствующая функция, принимающая истинное значение только тогда, когда большинство (для трех - это два или три) принимает истинное значение, называется функцией большинства, или мажоритарной (от лат. major -больший, старший; в армии майор - воинское звание старшего офицерского состава).

Необходимо разработать такой ЛЭ, который давал бы сигнал на выходе, если два или три арбитра нажмут на кнопки ‘Да’.

2. Формализация задачи.

Присвоим трем судьям логические переменные А, В, С (порядок не дает приоритета). Каждая переменная может принять только два значения: 0 или 1. Всего возможно 2³ =8 вариантов или различных наборов аргументов в искомой ЛФ Y=F(A, В, С). Y=1, если любые два или все три аргумента равны 1. Необходимо найти вид этой функции и ее схемную реализацию.

3. Решение.

а) Составим таблицу истинности в соответствии с принятой формализацией. Так, нулевая строка (счет ведем с нуля) означает, что все трое судей против (0, 0, 0), в этом случае и Y=0. Первая и вторая строки: два судьи ‘против’, один ‘за’ (0, 0, 1) и (0, 1, 0), значит опять Y=0. Наконец, в третьей строке один - ‘против’, два - ‘за’ (0, 1,1), значит Y=1. Этот результат повторится в пятой и шестой строках, а также в седьмой, где все трое ‘за’.

Окончательно получим таблицу истинности, отражающую сущность данной задачи, в виде, показанном на рисунке 8.

№	А	В	С	Y

Рисунок-8 Таблица истинности мажоритарного элемента

б) По таблице истинности составим ЛФ. Искомая функция будет равна сумме произведений аргументов в строках ТИ, где Y=1, причем соответствующие сомножители берутся без инверсии, когда переменная равна 1, и с инверсией (отмечаемой штрихом ') при 0. Первая 1 появляется в строке №3. Здесь А=0, В=1 и С=1, следовательно, первое слагаемое состоит из сомножителей А'ВС, строки №5, 6, 7 дают соответственно вклад АВ'С, ABC', ABC. Окончательно, ЛФ примет вид:

Y= А'ВС+ АВ'С+ АВС'+АВС.

(Следует отметить, что в ТИ допускается простановка неопределенных состояний знаком креста X. Эти состояния являются промежуточными и нестабильными: в них ЛФ может принять значение 0 или 1.)

в) Преобразование и минимизация ЛФ. Прежде чем находить необходимое схемотехническое решение задачи, желательно преобразовать ЛФ к определенному логическому базису, например, чтобы она выполнялась только элементами Шеффера. Кроме того, ее надо минимизировать, т.е. свести к минимуму по некоторому критерию, например числу входящих компонентов. Эти процедуры должны выполняться по правилам булевой алгебры, с сохранением тождественности результата.

Существуют различные способы решения подобных задач: аналитический, с помощью специальных карт Карно и т.д. Поскольку мы работаем на компьютере, то и воспользуемся его возможностями. Для этих целей в программе EWB разработан специальный уникальный инструментарий, поэтому прервемся на некоторое время в решении конкретной задачи и ознакомимся с ним.

Логический конвертор

В программе EWB войдем в панель Instruments (измерительные приборы) и в ней выберем Logic Analyzer или Logic Converter (логический конвертор - ЛК). На рабочем поле возникнет свернутое изображение прибора , которое служит для подключения к нему испытуемых схем ЛЭ. Щелкнув по нему дважды ЛКМ, выведем на рабочее поле развернутую лицевую панель ЛК (смотри рисунок 9).

Этот виртуальный прибор, как ни странно, практически не имеет аналогов среди реальных физических приборов. На развернутой лицевой панели показаны восемь возможных аргументов ЛФ (входов ЛЭ) от А до Н и выход Out. Эти изображения не активны в схемном отношении, но они соответствуют клеммам, к которым подключаются входы и выход на схемном изображении, сами же буквы входят в ЛФ. Одновременно кружки над буквами служат экранными кнопками, при нажатии на которые ЛКМ выбираются переменные ЛФ. Варианты, производимых преобразований (Conversions) изображены в виде символических пиктограмм-клавиш в правой части ЛК (смотри рисунок 9). Команда на эти преобразования дается щелчком ЛКМ по соответствующей клавише. Результаты отображаются в двух специальных окошках: в главном - таблица истинности, а в нижнем - математическое выражение ЛФ. Кроме того, для ввода и вывода схем ЛЭ используется основное рабочее поле.

Рисунок- 9 Лицевая панель логического конвертора (EWB)

Задача о мажоритарном элементе (окончание)

Вернемся к решению нашей задачи.

Рисунок- 10. Лицевая панель ЛК с введенной ТИ (EWB)

Нажмем ЛКМ последовательно на кнопки А, В, С на панели ЛК (рисунок 10). (Повторное нажатие, как обычно, отменяет введенную команду.) Теперь устанавливаем курсор в выходной (самой правой) колонке и изменяем там нули на единицы в соответствие с ТИ на рисунке 8. Таблица истинности нашей задачи оказывается введенной в ЛК (рисунок 10). Нажав ЛКМ на вторую сверху клавишу осуществляем переход от ТИ к ЛФ, которая отображается в нижней экранной строке прибора (смотри рисунок 11,а)

а)

б)

Рисунок- 11. Экранная строка: а - с первичной ЛФ; б - с упрощенной ЛФ (EWB)

Сопоставляя эту запись с приведенной выше, видим, что они полностью совпадают.

Для упрощения ЛФ даем команду (Simplify - упростить), нажав ЛКМ на следующую клавишу ЛК . В результате получаем упрощенную ЛФ (смотри рисунок 11,б) в виде: Y=AC+AB+BC.

По этому выражению нажатием ЛКМ по предпоследней снизу клавише ЛК строится искомая схема. Она возникнет (рисунок 12,а) на основном экране в произвольном месте (возможно и позади панели ЛК). Панель ЛК надо временно свернуть.

а)

б)

Рисунок- 12 Проектирование мажоритарного ЛЭ (EWB)

Совет

Пока схема активна (выделена красным цветом), поместите на нее курсор (он превратится в изображение руки) и буксируйте ее на свободное место. Это надо сделать обязательно, если новая схема наложилась на какие-либо старые. ‘Растащить’ после эти ‘завалы’ практически невозможно, и если произошел сбой, лучше все начать сначала. Не создавайте много схем на одном экране (в одном файле), работа с ЛК требует много оперативной памяти и могут начаться сбои.

Проведем редактирование полученной схемы. Заменим два двухвходовых ИЛИ на один трехвходовый ЛЭ, что соответствует структуре упрощенной ЛФ: сложению трех произведений. Дважды щелкаем по любому ЛЭ OR и в появившемся окне открываем позицию Number of Inputs (число входов) и отмечаем 3. На экране возникнет трехвходовый ЛЭ OR. Лишний двухвходовый ЛЭ OR удаляем и проводим необходимое редактирование (рисунок 12,б). Кроме того, для проверки правильности схемы подключим ее к схемному компоненту ЛК (смотри рисунок 12,б). Откроем лицевую панель ЛК и если она имеет старое заполнение, то, нажимая на А. В, С и удалив ЛФ с экранной строки, подготавливаем прибор к работе. После этого, нажимая на первую клавишу , даем команду на преобразование ‘схема’ --> ‘таблица истинности’. В результате должна появиться та же самая ТИ, а после нажатия на следующие две клавиши те же формулы.

Таким образом, ЛК позволяет вводить исходную информацию через ТИ или схему, третий вариант заключается во вводе ЛФ через экранную строку с клавиатуры компьютера (правда, тут могут возникнуть небольшие проблемы с напечатанием штриха как знака инверсии, но они преодолимы) с последующим нажатием клавиши . Все три способа представления ЦУ: ТИ, схема и ЛФ взаимосвязаны и желательно уметь переходить от одного к другому.

Уберем теперь ЛК и соберем, наконец, схему мажоритарного ЛЭ с ключами на входе и индикатором на выходе для ее исследования (рисунок 13). Проверив работу этих схем, убеждаемся в правильности решения задачи.

Рисунок- 13 Исследование мажоритарного ЛЭ

Зададимся теперь целью сборки виртуальной модели мажоритарного ЛЭ на микросхемах. Для этого целесообразно перейти к однотипному базису БЛЭ, например NAND.

В программе EWB на лицевой панели логического конвертора после набора ЛФ (ТИ или подключения предыдущей схемы) нажимаем на нижнюю клавишу и получаем соответствующую логическую структуру. Эта структура на рис. 14 дополнена позиционными обозначениями БЛЭ DD1...DD6 и обозначением выхода Y.

Рисунок- 14. Логическая структура мажоритарного ЛЭ на БЛЭ NAND (EWB)

Подготовка отчёта: отчёт должен содержать:

1. Цели, задачи лабораторной работы.

2. Описание средств.

3. Ход работы:

· Функциональные схемы подключения исследуемых элементов

· Таблицы истинности, полученных при исследовании устройств (если они есть)

· Краткое описание принципов работы мажоритарного ЛЭ

4. Выводы

5. Ответы на контрольные вопросы

Контрольные вопросы:

1. Числа какой системы счисления используются в вычислительной технике?

2. Как связаны законы алгебры логики и работа элементов цифровой логики?

3. Как понять смысл “задания” функций АЛ?

4. Какие законы АЛ отражают суть понятий о базисе?

5. Нарисуйте схему цифрового логического замка в базисе И-НЕ, в которой сигнал на выходе замка принимает значение лог. “1” (Z= 1) при выполнении условия Х1=0; Х2=1; Х3=1; X4=1; X5=0 X6=1.