Численные методы решения задач как раздел математики и инженерной деятельности непосредственно связан с такой областью как математическое моделирование. Позже, на старших курсах, математическое моделирование будет предметом отдельной дисциплины, ориентированной на специфику конкретной специальности, а сейчас лишь кратко рассмотрим, что такое математическое моделирование и как оно связано с численным решением задач.
Одним из основных способов решения научных и технических задач является эксперимент. Но давно прошли те времена, когда натурный эксперимент был прост по своей подготовке и требовал для проведения небольших средств. Наука и техника берутся за решение все более и более сложных задач, и поэтому соответственно растет сложность и стоимость экспериментальной базы. К тому же в практике науки и техники все чаще возникают ситуации, когда в принципе невозможно провести направленный, или как говорят – активный эксперимент. В качестве примера можно привести эксперименты в ядерной физике, требующие проведения ядерных взрывов, или все более опасные для окружающей среды биологические эксперименты. Поэтому в последние десятилетия все чаще применяют другой способ – математическое моделирование изучаемых объектов или процессов и проведение экспериментов на математических моделях. Например, учитывая глубокие сегодняшние знания в теоретической механике, теории прочности, аэродинамике, можно достаточно адекватно описать с помощью математических формул полет баллистической ракеты и на основе этих формул исследовать сидя за компьютером влияние на полет различных, например, атмосферных возмущений, даже таких, которые при реальном полете создать преднамеренно невозможно.
|
|
Весь процесс математического моделирования можно разделить на четыре основных этапа:
1. исследование объекта или процесса и составление его математического описания;
2. построение алгоритма, моделирующего объект, на основании полученного математического описания;
3. проверка соответствия математической модели и реального объекта (говорят – адекватности модели);
4. использование математической модели для изучения объекта и прогнозирования его поведения в различных ситуациях.
Первый, третий и четвертый этапы подробно будут рассматриваться в курсах математического моделирования, а сейчас самое пристальное внимание уделим второму этапу. Математическое описание объекта заканчивается обычно формулировкой уравнения (алгебраического, дифференциального, интегрального или какого-нибудь еще более сложного) или системы уравнений. Давно прошли времена, когда объект удавалось описать линейным или квадратным уравнением, системой уравнений невысокого порядка, «берущимся» интегралом и т.п., т.е. зависимостью, которую можно разрешить аналитически. Кто-то из великих ученых сказал, что все задачи, которые можно решить аналитически, были решены до начала двадцатого века. Сейчас в большинстве случаев приходится сталкиваться с задачами, относительно которых известен из физических соображений лишь факт существования решения, но неизвестны, а может быть в принципе и не существуют, методы получения его в аналитическом виде. Иногда возникают и другие ситуации. Например, математическое описание сети теплоснабжения города можно представить в первом приближении системой линейных алгебраических уравнений относительно сотен или даже тысяч неизвестных. Аналитическое решение систем таких высоких порядков в принципе возможно, но оно очень трудоемко и занимает слишком много времени.
|
|
Поэтому приходится применять численные методы решения для каждого конкретного набора значений параметров, входящих, в математическое описание. В качестве простейшего примера рассмотрим решение квадратного уравнения
. | (1.1) |
Его аналитическое решение для любых значений a, b, c, как известно, выражается формулой:
. | (1.2) |
Решить такое уравнение – это значит для конкретных значений параметров a, b, c найти значения x 1, x 2, при которых оно обращается в тождество. Для этого достаточно значения a, b, c подставить в (1.2) и вычислить его правую часть.
Но эту же задачу можно решить и другим способом. Для заданных конкретных значений a, b, c протабулируем функцию , т.е. вычислим значения y для значений x, изменяющихся с некоторым шагом на достаточно большом промежутке [ xн,xк ]. Среди всех точек оси Х, для которых вычислены значения y, выберем две соседние такие, в которых функция y имеет разные знаки (рис.1.1). Возьмем эти точки в качестве xн,xк и повторим эту процедуру еще раз, но уже с меньшим шагом и опять найдем две соседние точки оси Х, в которых y имеет разные знаки (рис.1.2). Эту процедуру можно повторять не-
Рис.1.1. | Рис.1.2. |
однократно до тех пор, пока длина промежутка [ xн,xк ] не станет меньше некоторой наперед заданной величины . Когда условие будет выполнено, то любую из точек xн или xк можно будет считать решением уравнения (1.1.). При этом говорят, что решение получено с точностью .
Это и есть пример численного решения математической задачи. Естественно, что надо быть идиотом, чтобы решать квадратное уравнение таким способом. Но в практике современного исследователя или инженера часто встречаются уравнения значительно более сложные или даже вообще не решаемые аналитическим способом (такие уравнения называются трансцендентными), например, или . Для решения подобных уравнений нет других методов, кроме численных. Раздел математики, в котором разрабатываются численные методы решения, называется теорией численных методов. Численный метод решения каждой задачи должен быть строго обоснован математически. Теоретической основой численных методов являются алгебра и математический анализ.
Из приведенного примера численного решения уравнения может возникнуть впечатление, что численные методы - это нечто приблизительное, неточное. Но давайте пристальнее посмотрим на то, что мы считаем точным решением – на формулу решения квадратного уравнения (1.2). Если под корнем окажется, например, число 23, то точное значение корней нам записать не удастся, так как число - иррациональное и выражается бесконечной непериодической десятичной дробью, и нам придется все равно ограничиваться некоторой точностью его записи.
Численные методы еще называют приближенными, но не потому, что они дают неточный, приблизительный результат, а потому, что в большинстве из них результат получается путем последовательного приближения к точному решению с заранее заданной точностью.
|
|
В данном курсе численных методов решения задач в виду ограниченности времени будут рассмотрены лишь пять математических задач:
1. решение трансцендентных уравнений;
2. решение задач линейной алгебры;
3. аппроксимация зависимостей;
4. вычисление определенных интегралов;
5. решение обыкновенных дифференциальных уравнений.