Предисловие. канд. пед. наук, профессор ОмГПУ Н

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Омск

ОГИС

УДК 517: 519

ББК 32.81

Д 44

Рецензент

канд. пед. наук, профессор ОмГПУ Н. Г. Рыженко

Отв. за выпуск

канд. пед. наук, профессор, зав. каф. ПрИМ О. Н. Лучко

Диденко, О. П.

Д 44 Математика: учебное пособие / О. П. Диденко, С. Х. Мухаметдинова, М. Н. Рассказова. – Омск: Омский государственный институт сервиса, 2013. – 160 с.

ISBN

Целью написания данного учебного пособия является краткое систематическое изложение основных разделов математики в доступной форме, а также рассмотрение примеров решения типовых математических и прикладных экономических задач.

Данное пособие предназначено для использования на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов экономических направлений подготовки, а также направлений подготовки «Прикладная информатика» и «Инноватика». В него включены необходимый теоретический материал и задачи по всем основным разделам курса математики. Стандартные задачи имеют образцы решения, что позволяет использовать пособие для самостоятельной работы, в том числе и студентами заочного отделения.

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования 3-го поколения и рабочими программами по курсу «Математика».

Глава 1 подготовлена М. Н. Рассказовой, глава 2 – О. П. Диденко, предисловие, введение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – С. Х. Мухаметдиновой.

ББК 32.81

УДК 517: 519

_________________________________

© Диденко О. П.,

Мухаметдинова С. Х.,

Рассказова М. Н.

© Омский государственный

институт сервиса (оформление), 2013

Оглавление

Предисловие…..………………………………………………………............ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………...…………. ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ…………..…….……................................................................. 1.1. Линейная алгебра…………………….…………….………..………. 1.1.1. Операции над матрицами………….....………….…..................... 1.1.2. Определители матриц и их свойства.......…………….…………. 1.1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений…........... 1.1.4. Системы линейных уравнений….................................................. 1.1.5. Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений….……………………………………. …..……………. 1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике..……... 1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса………............... 1.2. Векторная алгебра…………………………………………………… 1.2.1. Векторы. Линейные операции над векторами…..…….............. 1.2.2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов… 1.2.3. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения……………………………............................................................ 1.3. Аналитическая геометрия…….…………………………………..… 1.3.1. Прямая на плоскости...…………………………………..….…....... 1.3.2. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.……..……...…….. 1.3.3. Прямая и плоскость в пространстве………..…………………… ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ................................................ 2.1. Функции одной переменной…………………………………........... 2.2. Предел и непрерывность функции………………………….…….... 2.2.1. Замечательные пределы ……..……..……………………..…….….. 2.2.2. Непрерывность функции в точке……………………..……........... 2.3. Производная и дифференциал…………………………….…........... 2.3.1. Примеры вычисления производных ………………………………... 2.3.2. Применение производной в экономике ……………....……………. 2.3.3. Дифференциал функции…………………….……………………..…. 2.4. Приложения производной…………….……………......................... 2.4.1. Исследование функции на монотонность, экстремумы и выпуклость. Асимптоты графика функции………………………….... 2.4.2. Общая схема исследования функции и построения ее графика……………………………………………………..………………..… 2.5. Неопределенный интеграл…………...………………………..……. 2.5.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле…… 2.5.2. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле…………………...………………………………….………………. 2.6. Определенный интеграл……………………….………….………... 2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла….….…............ 2.6.2. Геометрические приложения определенного интеграла…...… 2.6.3. Применение определенного интеграла в экономике…….……... 2.6.4. Несобственные интегралы…………………………..….....…….… 2.7. Функции нескольких переменных….………………………........... 2.7.1. Частные производные, дифференциал, градиент функции…... 2.7.2. Частные производные 2-го порядка. Исследование функции на экстремум………………………………………………………………..... 2.7.3. Метод наименьших квадратов………………..………….……..…. 2.8. Дифференциальные уравнения…………………….………............. 2.9. Последовательности и ряды…………………………...….………... 2.9.1. Предел последовательности………………………………………. 2.9.2. Числовые ряды…………………………………………..……………. 2.9.3. Степенные ряды …………………………………..………..…… ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА…………………………….……………………………….……… 3.1. Элементы комбинаторики….………………….............................. 3.1.1. Факториал............................................................................... 3.1.2. Перестановки.......................................................................... 3.1.3. Размещения.............................................................................. 3.1.4. Сочетания..................................................................................... 3.1.5. Правило сложения........................................................................ 3.1.6. Правило произведения.................................................................. 3.2. Элементы теории вероятностей………..…................................... 3.2.1. Основные понятия теории вероятностей…………………….. 3.2.2. Классификация событий………………………….…………. ….… 3.2.3. Алгебра событий……………………………………………………... 3.2.4. Статистический подход к понятию вероятности…………... 3.2.5. Классический подход к понятию вероятности ……….………. 3.2.6. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики.. 3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности……............ 3.2.8. Аксиоматическое определение понятия вероятности……….. 3.2.9. Вероятность суммы несовместных событий..……................ 3.2.10. Вероятность произведения событий…………….………….…. 3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса…..………… 3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события………………………………………………………………...……... 3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа…………… ….............. 3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа……..……..……….. 3.2.15. Формула Пуассона…………………..…………………….……….. 3.3. Случайные величины…….………..…..…………………….…….. 3.3.1. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины………………………………………….….. 3.3.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин……………………………………………………….…………….….. 3.3.3. Функция распределения вероятностей случайной величины 3.3.4. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал…………………………..…………………………………………….. 3.3.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.............................................................................................. 3.3.6. Равномерное распределение…………………………….……….... 3.3.7. Нормальное распределение……….……………………............... 3.3.8. Показательное распределение…………..………………............ 3.4. Элементы математической статистики………..………………… 3.4.1. Основные понятия математической статистики................ 3.4.2. Точечные оценки параметров распределения………...…..…... 3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения…............. 3.4.4. Проверка статистических гипотез…………………...……...… ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………............. Библиографический список ……………………………………..…….......... Приложение 1. Таблица значений функции Гаусса …..…… Приложение 2. Таблица значений функции Лапласа . Приложение 3. Таблица значений функции Пуассона….…....................… Приложение 4. Таблица значений q = q (g, n)………………………………. Приложение 5. Таблица критических точек распределения ............ Приложение 6. Индивидуальные задания по главам………………………. Алфавитно-предметный указатель…………………………………………..

Предисловие

Целью написания данного учебного пособия является краткое систематическое изложение основных разделов математики в доступной форме, а также рассмотрение примеров решения типовых математических и прикладных экономических задач.

Данное пособие предназначено для использования на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов экономических направлений подготовки, а также направлений подготовки «Прикладная информатика» и «Инноватика». В него включены необходимый теоретический материал и задачи по всем основным разделам курса математики. Стандартные задачи имеют образцы решения, что позволяет использовать пособие для самостоятельной работы, в том числе и студентами заочного отделения. Вместе с тем оно может быть полезно широкому кругу читателей, использующих в своей деятельности математические методы и модели.

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования 3-го поколения и рабочими программами по курсу «Математика» и включает в себя предисловие, введение, три главы, заключение, библиографический список, 6 приложений и алфавитно-предметный указатель.

В пособии рассматриваются основные теоретические и практические аспекты линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач с комментариями и пояснениями, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Среди задач, представленных в учебном пособии, есть задачи, предназначенные для приобретения умений использовать конкретные формулы и теоремы, а также более сложные задачи, для решения которых необходима интеграция знаний и умений, приобретенных в процессе изучения всего курса математики. Задачи, предлагаемые для самостоятельного решения, дают возможность студенту овладеть методами обработки и анализа статистической информации, получить навыки построения математических моделей и интерпретировать полученные результаты. В пособии использованы как задачи, составленные авторами, так и задачи из источников, указанных в библиографическом списке.

Каждый из трех разделов обладает четко выраженной структурой и содержит необходимые для усвоения учебного материала определения понятий, формулы, формулировки правил и теорем, примеры решения наиболее типичных задач.

Первая глава посвящена рассмотрению теоретических и прикладных аспектов линейной алгебры и аналитической геометрии. В ней наряду с традиционными заданиями (решение систем линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы, Гаусса и др.) рассматриваются экономические приложения, такие как, например, модель Леонтьева межотраслевого балансаизадача о нахождении отношения сбалансированности торговли. Приведено большое количество примеров решений и заданий, предназначенных для самостоятельных и контрольных работ.

Во второй главе приведены решения задач математического анализа по основным темам: функции и числовые последовательности, пределы числовых последовательностей и функций, производные функций, неопределенный и определенный интегралы и методы их вычисления, элементы функций многих переменных, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, дифференциальные уравнения первого и второго порядков, а также числовые и функциональные ряды. Кроме того, глава содержит большое количество разнообразных контрольных заданий по всем перечисленным темам. Особое внимание уделяется экономическим приложениям математического анализа.

Третья глава, посвященная элементам теории вероятностей и математической статистики, в свою очередь, содержит пять подразделов: элементы комбинаторики, элементы теории вероятностей, случайные величины, математическая статистика и задачи для самостоятельного решения. В этой главе особое внимание уделяется основным понятиям и теоремам теории вероятностей и математической статистики, без усвоения которых невозможно успешно овладеть методами решения задач. В конце каждого параграфа представлены контрольные вопросы, которые подготовят читателей к успешной сдаче зачета или экзамена по дисциплине «Математика» и использованию математических методов и моделей в их будущей практической деятельности.

В приложениях представлены таблицы значений функций Гаусса, Лапласа, Пуассона и др., необходимые для решения многих задач теории вероятностей и математической статистики, а также задачи для самостоятельного решения.

Структура и специфика изложения учебного материала в данном пособии направлены на эффективную организацию работы студентов при изучении учебного материала как на практических и семинарских занятиях, так и в процессе самоподготовки.

Глава 1 подготовлена канд. физ.-мат. наук, доцентом Мариной Николаевной Рассказовой, глава 2 – канд. пед. наук Ольгой Павловной Диденко, предисловие, введение, заключение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – канд. пед. наук, доцентом Светланой Хамитяновной Мухаметдиновой.

С. Х. Мухаметдинова