Формула полной вероятности и формула Байеса

Если некоторое событие В совершается с одним из п несовместрых событий , образующих полную группу событий, то для оп­ределения вероятности этого события может быть использована формула полкой вероятности

Для определения вероятности события при условии, что произош­ло событие В, используется формула Байеса

67. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго — б и от третьего — 4 двигателя. Вероятности безот­казной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.

Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на пер­вом заводе, на втором заводе?

68. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответ­ственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

69. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в отношении 3:4:6. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 95%, второй – 80%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что

а) приобретенное изделие окажется нестандартным

б) приобретенное изделие оказалось стандартным

в) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

Г) приобретенное изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

Д) Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено второй фирмой?

70. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

б) Случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?

71. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Пер­вый рабочий изготовил 40 изделий, второй — 35, третий — 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго — 0,02, у третьего — 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракован­ным. Определить вероятность того, что это изделие сделал вто­рой рабочий.

72. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Приобретенное изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно поставлено второй фирмой.

73. На предприятии работают две бригады рабочих: пер­вая производит в среднем ³/₄ продукции с процентом брака 4%, вторая — ^х/₄ продукции с процентом брака 6?/о. Найти веро­ятность того, что взятое наугад изделие:

а) окажется бракованным;

б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

74. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремон­та для сапог равна 0,9, а для туфель — 0,85. Проведена про­верка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обу­ви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли?

75. В группе 4 отличника, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо студентов. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. На экзамен наугад приглашается один студент. Какова вероятность того, что он получит хорошую оценку?

76. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель 0,85. Какова вероятность того, что отобранная для проверки пара отремонтирована качественно?

77. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 2% брака, второй 3% брака. Найти вероятность того, что наугад взятая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом, если с первого автомата поступило 1000 деталей, а со второго 2000.

78. Известно, что 90% выпускаемой продукции соответствует стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

79. В магазин бытовой техники поступила партия холодильников трех торговых марок: «Дед Мороз», «Снегурочка» и «Северный олень». В поступившей партии 10% холодильников «Дед Мороз», 40% холодильников «Снегурочка», остальные – «Северный олень». Известно, что холодильники данных торговых марок не требуют ремонта в течение гарантийного срока, соответственно, в 98%, 88% и 92% случаях.

А) Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии холодильник не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Б) Случайно выбранный холодильник сломался в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что это холодильник марки «Снегурочка»

80. Аналитик, занимающийся прогнозом котировок акций компании, ожидает роста стоимости акций с вероятностью 0.85, при условии, что экономика страны будет находиться в состоянии подъема. По его оценкам, в случае экономического спада, вероятность роста котировок акции компании снижается до 0.40. Согласно предварительным прогнозам вероятность экономического подъема в стране в следующем году оценивается на уровне 65%. Перед аналитиком поставлена задача: дать оценку вероятности роста цен на акции компании в новом году. Каков Ваш прогноз?

81. Сотрудник консалтингового агентства проводит анализ тенденций на валютном рынке с целью расчета доходности будущих инвестиций. Согласно предварительному прогнозу, укрепление доллара США в период активного экономического роста ожидается с вероятностью 0.75; в период умеренного экономического роста с вероятностью 0.45 и в период стагнации с вероятностью 0.25. Кроме того, есть основания полагать, что активный экономический рост будет происходить с вероятностью 0.25, умеренный экономический рост с вероятностью 0.35 и будет наблюдаться стагнация с вероятностью 0.40.

А) Какова вероятность того, что в прогнозируемый период произойдет укрепление доллара?

Б) Известно, что в прогнозируемый период произошло укрепление доллара. Какова вероятность того, что этот период ознаменован высокими темпами экономического роста

82. В район изделия поставляются тремя фирмами. Известно, что первая фирма поставляет товар с браком в 0,1%, вторая – 0,15%, третья – 0,25%. С первой фирмы поступило 500, со второй – 200, а с третьей – 300 изделий. Найти вероятность, что приобретённое изделие окажется

а) стандартным;

б) нестандартным;

в) какова вероятность, что стандартное изделие поступило с третьей фирмы?