Вероятность появления хотя бы одного события

В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.

Пусть события А_1, А_2….. А_п независимы и известны вероятности этих событий:

Р(А₁) = р₁, Р(А_г) = р₂,..., Р(А_п) = р_п.

Обозначив вероятности противоположных событий

Р(А₁) = q₁ Р(А₂) = q₂,..., Р(А_п) = q_n,

найдем вероятность того, что ни одно из событий А₁, А₂, А_п в опыте не наступит:

Р(В) = q₁q_2… q_n.

В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного со­бытия

Р(В) = 1 - Р(В) = 1- q₁q_2… q_n.

53. Вероятность преждевременного перегорания электролампы равна 0,1. Какова вероятность того, что из 9 ламп хотя бы одна перегорит преждевременно?

54. В зоопарке два страуса из 6 имеют рост более 2,5 м. На выездную выставку случайным образом выбирают трех страусов. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один с ростом более 2,5 м?

55. В районе имеется двенадцать заводов, из которых три нерентабельных. На проверку случайным образом отобрано два завода. Найти вероятность того, что среди них:

а) один нерентабельный; б) хотя бы один рентабельный.

56. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от пер­вого из смежников равна 0,05, от второго — 0,08. Найти веро­ятность сбоя в работе предприятия.

57. Предположим, что вероятность выловить рыбу при одной поклевке равна 0,7. Какова вероятность того, что рыбак поймает хотя бы одну рыбу, если у него четыре поклевки?

58. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта в каталоге, равна 0.04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.06. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

59. Студент в сессию должен сдать 3 экзамена, причем известно, что положительную оценку он может получить за них с вероятностями . Предполагая, что различные экзамены представляют собой независимые испытания найти вероятности того, что студент: а) не сдаст ни одного экзамена; б) студент сдаст ровно два экзамена; в) студент сдаст хотя бы один экзамен.

60. В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа качества отобрали три шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб ока­жутся:

а) только женские шубы;

б) только мужские или только женские шубы.

61. На предприятие поступают заявки от нескольких тор­говых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность пос­тупления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но сов­местными.

62. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответ­ственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

63. Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; 0,7 для второго и 0,5 для третьего. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

64. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А, В и С. В течение следующего года надежность первой компании оценивается экспертами в 99%, второй – в 98%, третьей - 97%. Чему равна вероятность того, что наступит банкротство хотя бы одной компании?

65. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии - 0.1, на втором - 0.2, на третьем – 0.25. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.

66. В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 4 изделий некачественных. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделия будут:

а) качественными;

б) хотя бы один из них будет качественным;

в) ни одного качественного изделия.