Пример 3. Определить заряд q, прошедший по проводу с сопротивлением R = = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0 = 2 В до U = 4 В в течение

Определить заряд q, прошедший по проводу с сопротивлением R = = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U ₀ = 2 В до U = 4 В в течение t = 20 с.

Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда dq = Idt и проинтегрируем:

(1)

Выразив силу тока по закону Ома, получим

(2)

Напряжение U в данном случае переменное. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой

(3)

где k – коэффициент пропорциональности. Подставив это выражение U
в формулу (2), найдем

Проинтегрировав, получим

(4)

Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы (3), если заметим, что при t = 20 с U = 4 В.

Подставив значения величин в формулу (4), найдем q = 20 Кл.

Пример 4.

Сила тока в проводнике с сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени D t = 2 с по линейному закону от I ₀ = 0 до I_max = 6 А (рис. 4). Определить количество теплоты Q ₁, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q ₂ – за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q ₂/ Q ₁.

Закон Джоуля – Ленца применим
в случае постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечного малого промежутка времени и записывается в виде Рис. 4

(1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

(2)

где k – коэффициент пропорциональности, равный отношению приращения силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:

С учетом равенства (2) формула (1) примет вид

(3)

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени D t, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t ₁ до t ₂:

При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t ₁ = 0, t ₂ = 1 c и, следовательно, Q ₁ = 60 Дж, а за вторую секунду – пределы интегрирования t ₁ = 1 c, t ₂ = 2 c и тогда Q ₂ = 420 Дж.

Следовательно, Q ₂/ Q ₁ = 7, т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду.

Пример 5.

Источники тока с электродвижущими силами e₁ и e₂ включены
в цепь, как показано на рис. 5. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R ₂ и R ₃, если e₁ = 10 и e₂ = 4 В, а R ₁ = R ₄ = 2 Ом и R ₂ = R ₃ = 4 Ом. Сопротивлением источников тока пренебречь.

Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Указание: Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).

Выберем направление токов, как они показаны на рис. 5, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но составлять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком «плюс»; ток, отходящий от узла, – со знаком «минус».

По первому закону Кирхгофа для узла Вимеем

(1)

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком «плюс», в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком «минус»;

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров AR₁BR₂A, AR₁BR₃A, AR₃BR₄A:

(2)

(4)

(5)

Подставив в равенства (2) – (4) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

Искомые значения токов найдем из выражений

и

где D – определитель системы уравнений; и – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя D столбцами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений. Находим:

Отсюда получаем: .

Знак «минус» у значения силы тока I ₃ свидетельствует о том, что при произвольном выборе направления токов, указанных на рис. 5, направление тока I ₃ было указано противоположно истинному. На самом деле ток I ₃ течет от узла В к узлу А.