Примеры решения задач. 1. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна

1. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна

1 МА/м². Определить напряжение на концах проводника.

Дано: l = 25 м; j = 10⁶ А/м²; ρ = 4 · 10^-7 Ом · м.

Найти: U

Решение. По закону Ома, в дифференциальной форме плот­ность тока j в проводнике пропорциональна напряженности Е поля в проводнике ,

где — удельная проводимость.

С другой стороны, , где U — напряжение на концах проводника длиной l. Тогда , откуда ; Подставим численные значения:

.

2. Напряжение на концах проводника сопротивлением 5 Ом за 0,5 с равномерно возрастает от 0 до 20 В. Какой заряд проходит через проводник за это время?

Дано: R = 5 Ом; t = 0,5 с; U ₁ = 0; U ₂= 20 В.

Найти: q

Решение. За время dt по проводнику переносится заряд ,

где — ток в проводнике, R — сопротивление проводника; U (t) —напряжение на концах проводника.

Напряжение U линейно изменяется со временем, т. е, можно записать , где — коэффициент пропорциональности,

.

Заряд q, перенесённый по проводнику за 0,5 с, будет

;

Подставим числовые данные: .

3. Температура вольфрамовой нити электролампы 2000 °С, диа­метр 0,02 мм, сила тока в ней 4 А. Определить напряженность поля в нити.

Дано: t = 2000 °С; d = 2 · 10^{-5 м;} I = 4 А; ρ₀ = 5,5 · 10^-8 Ом · м;

α = 5,2 · 10^-3 К^-1 (определено по справочнику).

Найти: Е.

Решение. По определению, плотность тока , где I - сила тока, S – площадь поперечного сечения нити, определяемое по формуле: .

По закону Ома, в дифференциальной форме плотность тока

, где Е — напряжённость поля в нити, ρ — удельное сопротив­ление, — удельное сопротивление вольфрама при t = 0 °С, α - температурный коэффициент сопротивления. Из уравнения

.

4. Внутреннее сопротивление аккумулятора 1 Ом. При силе тока 2 А КПД электрической цепи равен 0,8. Определить ЭДС аккумулятора.

Дано: r = 1 Ом; I = 2 А; η = 0,8.

Найти: ε.

Решение. КПД определяется по формуле .

Отсюда . Запишем закон Ома для замкнутой цепи .

Выражая э.д.с. ε, получим: .

5. Определить ЭДС электрической цепи, содержащей аккумуляторную батарею, ток короткого замыкания которой 10 А. При подключении к аккумуляторной батарее резистора сопротивлени­ем 9 Ом сила тока в цепи равна 1 А.

Дано: I _кз = 10 A; R = 9 Ом; I = 1 А.

Найти: ε.

Решение. По закону Ома для замкнутой цепи: .

При коротком замыкании цепи внешнее сопротивление R = 0 и , откуда . Тогда или .

6. К источнику тока подключают один раз резистор сопротивле­нием 1 Ом, другой раз — 4 Ом. В обоих случаях на резисторах за одно и то же время выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока.

Дано: R ₁= 1 Ом; R ₂= 4 Ом; t ₁ = t ₂ = t, Q _l = Q ₂.

Найти: r.

Решение. По закону Ома, .

По закону Джоуля – Ленца, количество теплоты Q, выде­ляемое в проводнике при прохождении тока за время t, равно: .

Так как , то , тогда ;

После математических преобразований получим: ;

; ; ;

; .

7. Сила тока в резисторе линейно возрастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 с.

Дано: t ₀ = 0; t ₁= 4 с; I = 0; 1 ₁ = 8 A; t ₂= 3 с; R = 10 Ом.

Найти: Q.

Решение. По закону Джоуля - Ленца

.

Так как сила тока является функцией времени, то

,

где k — коэффициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени: .

Следовательно, .

За первые 3 с выделится количество теплоты, равное

.

Подставляя числовые значения, получим

.

8. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных эле­ментов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить на­ибольшую полезную мощность батареи.

Дано: ε_i = 1,4 В; r_i = 0,3 Ом; Р _п = 8 Вт; п = 5.

Найти: I, Р _{п mах}.

Решение. Полезная мощность батареи . (1)

Сила тока определяется по закону Ома: . (2)

Здесь — ЭДС, а — внутреннее сопротивление п последовательно соединенных элементов.

Выразим R из (1): и, подставив это выражение в (2), получим

(3)

или . (4)

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:

.

Решая квадратное уравнение, найдем: .

Подставляя числовые значения, получим:

;

.

Для того чтобы определить наибольшую полезную мощ­ность батареи, найдем зависимость её от внешнего сопротивле­ния. Подставим в уравнение (1) выражение (2): . (5)

Из этой формулы следует, что при постоянных величинах ε_i и r_i мощность является функцией одной переменной — внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если , следовательно, имеем:

,

или . (6)

Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивле­ния внешней цепи. Из решения уравнения (6) следует, что .Подставляя найденное значение R в формулу (5), имеем: .

Производя вычисления, найдем .