2015-05-13
5386
Задача 11.3.1. Определите объём выборки, чтобы обнаружить отношение действительного значения дисперсии контролируемого параметра в партии изделий к нормируемому значению, равное 2.2, если ошибка первого рода α=0,03, ошибка второго рода β=0,01.
Решение.
Пусть используется одностороннее ограничение и необходимо выявить случаи, когда значение дисперсии в партии превышает заданную величину (рисунок 11.3).
Выразим квантиль t1-α для распределения p(x0):
t1-α = 
, (11.33)
где n – объём выборки;
– центр распределения p(x0);
σ – СКО в партии изделий.
P(x0) – плотность распределения вероятностей в партии изделий;
P(x1) – плотность распределения вероятностей в выборке;
K – пороговое значение.
Рисунок 11.3 – Плотности распределения контролируемого параметра в партии и выборке изделий
Выразим квантиль t1-β для распределения p(x1):
t1-β = , (11.34)
где 
- центр распределения p(x1).
Из рисунка 11.3 видно, что расхождение центров распределений можно выразить через квантили разброса параметра:
(11.35)
|
|
|
Подставим выражения для квантилей:
(11.36)
Отсюда объём выборки: 
(11.37)
Отношение 
по условию задачи как ограничение разброса параметра.
Определяем значение квантилей. Значение функции Лапласа для вероятности (1-α):
Φ(1-α)=(1-α) - 0.5=0,47, т.к. критерий односторонний.
Для вероятности (1-β) значение функции Лапласа:
Φ(1-β)=(1-β) - 0.5=0,49.
По приложению Б (таблица 1) определяем значения квантилей, как аргументов функции Лапласа:
t1-α ≈ 1.89
t1-b ≈ -2.33 (знак ˝-˝, т.к. квантиль t1-β определён для отклонений в сторону значений меньших 
).
Рассчитываем объём выборки изделий:
n = 2.2· 
= 39,17848 ≈ 40 (изд.)
Задача 11.3.2. Определите вероятность появления x бракованных изделий в выборке с возвратом, если объём выборки 40, а вероятность бракованных изделий в партии P=0,04.
Решение.
Вероятность появления x бракованных изделий в выборке объёмом n при контроле с возвратом подчиняется биномиальному закону распределения и определяется по формуле (11.3).
Вычислим вероятность отсутствия брака в выборке, x = 0:
P40(0) = 
= 1·1·0,195366151 = 0,195366151
По соотношению, связывающему две последующих вероятности (11.9), для x=1:
P40(1) = P(0)· 
= 0.195366151· 
=0.325610251
По соотношению (11.9) получаем вероятности появления последующего количества бракованных изделий и рассчитываем кумулятивные вероятности (11.8) до тех пор, пока вероятность появления x бракованных изделий окажется пренебрежимо малой, а кумулятивная вероятность приблизится к 1.
Результаты расчетов представлены в таблице 11.1.
Таблица 11.1 – Вероятность появления бракованных изделий в выборке
| Число бракованных изделий x | Вероятность P40(x) | Кумулятивная вероятность F40(x) |
| 0,195366151 | 0,195366151 | |
| 0,325610251 | 0,520976402 | |
| 0,264558328 | 0,78553473 | |
| 0,139628006 | 0,925162736 | |
| 0,053814961 | 0,978977697 | |
| 0,016144488 | 0,995122185 | |
| 0,003924007 | 0,999046192 | |
| 0,000794144 | 0,999840336 | |
| 0,000136493 | 0,999976829 | |
| 0,000020221 | 0,99999705 | |
| 0,000002611 | 0,999999661 | |
| 0,000000296 | 0,999999957 |
Задача 11.3.3. Определите, чему равны риск поставщика и риск потребителя, если AQL = 0,01, LQ = 0,03, и план выборочного контроля следующий:
|
|
|
для партии из 500 изделий взять выборку объёма 180 и принять партию, если число дефектных изделий не больше 3, в противном случае партию отклонить.
Решение.
При P0 = AQL = 0,01 качество партии считается хорошим, то есть при количестве брака
500·0,03 = 15 (шт.).
При контроле выборки без возврата вероятность появления x бракованных изделий подчиняется гипергеометрическому распределению и определяется по формуле (11.10).
Кумулятивная вероятность появления в выборке до 3 бракованных изделий определяет вероятность правильного решения о принятии партии. Эта вероятность равна:
=
= 
=
=0,106163729 + 0,02365053 + 0,41472205 + 0,9113853 = 0,41139517.
Риск поставшика соответствует ошибке I рода α:
α = 1 - F180,500(3) = 1 – 0,41139517 = 0,58860483 ≈ 0,6.
Риск потребителя – ошибка второго рода β соответствует вероятности принятия фактически негодной партии, то есть когда в партии содержится 15 бракованных изделий.
F180;500(3)= 
=
= 
=
=0,001096707 + 0,009676828 + 0,039495331 + 0,098909303 = 0,149178169 ≈ 0,149
β ≈ 0,149
Задача 11.3.4. Определите оперативную характеристику контроля выборки с возвратом для условий договора поставщика с заказчиком:
- риск изготовителя α = 0,03;
- риск потребителя β = 0,1;
- приёмочный контроль качества AQL = 0,04;
- браковочный уровень дефектности LQ = 0,3
Решение.
Оперативная характеристика контроля (OXK) определяет объём выборки и приёмочное число c.
Рассчитываем минимальный объём выборки n, исходя из условия появления брака, содержащегося в партии: P(0) = (1-Pб)n ≤ β, (11.38)
где Pб = LQ = 0,3.
P(0) = (1-0,3)8 = 0,0823543 < 0,1. Следовательно, n = 8.
Приёмочное число «c» определяем из условия максимально допустимого числа бракованных изделий в выборке, не снижая вероятность правильной приёмки (1-α).
Рассчитываем вероятность появления x бракованных изделий в выборке установленного объёма n = 8 по формуле (11.4):
Pn(x) = 
, (11.39)
где Pn = AQL = 0,04.
Для каждого значения x рассчитываем кумулятивную вероятность (11.8), увеличивая с каждым шагом значение x на 1 до тех пор, пока выполнится неравенство: F(x) ≥ 1-α (11.40)
Значение x, для которого выполнилось неравенство (11.40), является приёмочным числом c.
P8(0) = (1-0,04)8 = 0,721389579
P8(1) = 
0,04(1-0,04)7 = 0,240463193
F(1) = P(0) + P8(1) = 0,721389579 + 0,240463193 = 0,961852772.
Значение F(1) удовлетворяет условию (11.40). Следовательно, установлены объём выборки n = 8 и приёмочное число c = 1.
Задачи
Задача 11.4.1. Какого объёма должна быть выборка, чтобы гарантировать с α=0,05, что разность между выборочным средним и средним значением совокупности, равная 0,6 СКО, будет выявлена с β, не превышающий 0,01?
Задача 11.4.2. Две независимые выборки извлечены из нормально распределённой партии изделий. Разность между математическими ожиданиями не превосходит величины 0,4 СКО. Какого объёма должна быть каждая выборка, чтобы можно было обнаружить это различие с вероятностью 0,99 при использовании критерия с уровнем значимости 0,02?
Задача 11.4.3. Вычислите вероятность появления x бракованных изделий в выборке без возврата, если объём выборки n = 20, а объём партии N = 500. Вероятность брака в партии 0,2.
Задача 11.4.4. Какого объёма должна быть выборка при одноступенчатом контроле для партии из 400 изделий, если AQL = 0,02, LQ = 0,25, риск поставщика не превышал 4%, а риск потребителя 20%?
Задача 11.4.5. Для партии из 450 изделий предложен двухступенчатый план контроля: взять первую выборку объёма 40, принять партию, если дефектные изделия отсутствуют; если дефектных изделий 2 или больше, выборку отклонить; если в первой выборке окажется одно дефектное изделие, взять вторую выборку объёма 80. Принять партию, если в объединенной выборке объёма 120 не более двух дефектных изделий, в противном случае партию отклонить. Чему равен риск поставщика при AQL = 0,02 и риск потребителя при LQ = 0,04?
|
|
|
Задача 11.4.6. Сколько изделий надо отобрать в выборку, чтобы определить отклонение среднего выборочного значения от математического ожидания контролируемого параметра в партии, равное 0,8 СКО, если вероятности ошибок контроля I и II рода не должны превышать 0,03?
Задача 11.4.7. Определите вероятности ошибок I и II рода, при условии их равенства, если отклонение выборочного среднего, определенного по выборке объемом 50, от среднего значения генеральной совокупности равно 0,4 СКО.
Задача 11.4.8. Определите вероятность правильной приемки изделий при допустимом отклонении от среднего значения совокупности, не превышающем 0,3СКО, по выборке объемом n=100, если вероятность ошибки II рода b=0,02.
Задача 11.4.9. Определите вероятность правильной браковки изделий по результатам контроля выборки объемом n=80 при отклонении от среднего значения, контролируемого в партии, превышающем 0,7СКО, если вероятность ошибки I рода a=0,06.
Задача 11.4.10. Определите вероятность ошибки I рода при контроле выборки объемом 140 изделий, если вероятность ошибки II рода не должна превышать 0,05, а отношение отклонения среднего выборочного и среднего значения параметра в партии к СКО равно 0,5.
Задача 11.4.11. Определите вероятность ошибки II рода при контроле выборки объемом 96 изделий, если вероятность ошибки I рода не превышает 0,1 и расхождение средних значений параметра в выборке и в партии равно 0,68СКО.
Задача 11.4.12. Вычислите вероятность появления бракованных изделий в выборке объемом n=38 при контроле выборки с возвратом, если вероятность брака в партии 0,15.
Задача 11.4.13. Определите объем выборки и числовые характеристики при контроле выборки с возвратом, если доля бракованных изделий в партии составляет 0,09, доверительная погрешность равна 0,14 при доверительной вероятности 0,98.
|
|
|
Задача 11.4.14. Вычислите, какой была доля бракованных изделий в партии, если контроль выборки с возвратом объемом 16 проводился с доверительной погрешностью 0,2 при доверительной вероятности 0,95.
Задача 11.4.15. Определите доверительную погрешность для доверительной вероятности 0,9 при контроле выборки с возвратом объемом 25 изделий из партии изделий с вероятностью брака 0,12.
Задача 11.4.16. Определите доверительную вероятность выборочного контроля с возвратом, если объем выборки 10, доверительная погрешность 0,18, доля бракованных изделий в партии 0,05.
Задача 11.4.17. Определите объем выборки с возвратом для контроля партии изделий, доля брака в которой 0,06, чтобы риск потребителя не превышал 0,05. Приемочное число равно 1.
Задача 11.4.18. Рассчитайте вероятность появления не более 4 бракованных изделий при контроле выборки с возвратом объемом 30 из партии с долей брака 0,04.
Задача 11.4.19. Рассчитайте числовые характеристики для доли бракованных изделий в выборке без возврата объемом 8 из партии 120 изделий с долей брака 0,07.
Задача 11.4.20. По условию задачи 11.3.19. определите вероятность появления при контроле выборки не более двух бракованных изделий.
Задача 11.4.21. Для партии из 500 изделий с долей брака 0,05 определите объем выборки при условии, чтобы дисперсия доли брака в выборке не превышала 0,002.
Задача 11.4.22. определите приемочное число при контроле выборки без возврата объемом 14 из партии 200 изделий с допустимой долей брака 0,05, чтобы риск поставщика не превысил 0,08.
Задача 11.4.23. Определите оперативную характеристику контроля выборки с возвратом, удовлетворяющей условиям договора поставщика с заказчиком: a=0,004; b=0,25; AQL=0,065; LQ=0,24.
Задача 11.4.24. План контроля партий из 100 изделий предусматривает контроль 20 изделий. Если среди них оказываются бракованные изделия, то бракуют всю партию. Как часто будут приниматься решения о приемке, если в партиях по 5 бракованных изделий? Какие гарантии может иметь потребитель, если в выборке одно бракованное изделие?
Задача 11.4.25. По результатам испытаний вероятность того, что покрытие устойчиво против коррозии, равна 0,95. Отобрано для проверки 20 образцов. Сколько брака можно ожидать? Какова вероятность, что будет обнаружено более одного случая брака?
Задача 11.4.26. Испытываемые пластины делятся на 4 категории по чистоте их поверхности. Математические ожидания количества пластин каждой категории находятся в соотношении 1:1:2:4. Исследовано 100 образцов. Какова вероятность, что среди них не окажется пластин первых двух категорий? Какова вероятность, что в выборке объема 40 окажется 5 пластин первой категории, 5 – второй, 10 – третьей и 20 – четвертой?
Задача 11.4.28. При испытании металлических образцов ожидается, что 20% из них окажутся негодными, 30% будут на грани возможного использования и 50% - хорошего качества. При испытании 50 образцов, какова вероятность того, что:
а) все образцы хорошие;
б) самое большее один плохой и два на грани возможного использования;
в) ровно один плохой, два на грани возможного использования и 47 хороших?
Задача 11.4.29. В партии объема 100 пять плохих изделий и пять изделий на грани возможного использования, которые можно доработать и использовать. Какова вероятность того, что в выборке объема 30 окажется самое большее один образец на грани возможного использования и не будет плохих?
Задача 11.4.30. Для партии из 400 изделий предложите план двухступенчатого контроля с параметрами: a£0,05; b£0,10; AQL=0,01; LQ=0,03.
Задача 11.4.31. По результатам выборочного текущего контроля диаметров валов (таблица 11.2) постройте контрольные карты средних и размахов, определите, является ли технологический процесс статистически управляемым и стабильным, рассчитайте индекс его возможностей.
Таблица 11.2 - Результаты контроля наружного диаметра валов Æ30 е8 
| № выборки | Значения наружного диаметра вала, мм | |||||
| 29,954 | 29,958 | 29,946 | 29,950 | 29,962 | 29,951 | |
| 29,940 | 29,944 | 29,938 | 29,960 | 29,948 | 29,957 | |
| 29,930 | 29,936 | 29,938 | 29,928 | 29,960 | 29,958 | |
| 29,952 | 29,940 | 29,925 | 29,927 | 29,924 | 29,920 | |
| 29,950 | 29,944 | 29,942 | 29,957 | 29,953 | 29,950 | |
| 29,934 | 29,936 | 29,932 | 29,948 | 29,950 | 29,941 | |
| 29,960 | 29,942 | 29,955 | 29,950 | 29,946 | 29,954 | |
| 29,950 | 29,948 | 29,940 | 29,942 | 29,935 | 29,938 |
Задача 11.4.32. По данным таблицы 11.2 постройте S-карту (СКО) Шухарта и карту медиан. Медиана определяется как значение размера, относительно которого одинаково число значений меньших и больших медианы. Какие выводы можно сделать по этим контрольным картам.
Задача 11.4.33. По результатам выборочного контроля, представленным в таблице 11.3, оцените возможность применения КК. Определите правильность настройки технологического процесса. Можно ли продолжать применять нормальный выборочный контроль, если приемочное число с=0?
Таблица 11.3 - Результаты контроля внутреннего диаметра кольца подшипника
Æ80-0,015
| № выборки | Значения внутреннего диаметра кольца, мм | ||||||
| 79,985 | 79,988 | 79,990 | 79,990 | 79,992 | 80,000 | 79,996 | |
| 79,988 | 79,992 | 79,995 | 79,990 | 79,998 | 79,986 | 79,985 | |
| 79,984 | 79,990 | 79,998 | 80,000 | 79,988 | 79,992 | 79,994 | |
| 79,998 | 80,005 | 79,996 | 80,001 | 79,996 | 79,990 | 79,988 | |
| 80,000 | 79,985 | 79,988 | 79,990 | 79,980 | 79,989 | 79,986 |
Задача 11.4.34. Объем наполняемых сосудов (80±0,4) см3. Колебания объема существенно зависят от работы оператора. Постройте карту приемочного контроля, если принимается работа оператора, когда не более 0,1% наполняемых сосудов выходит за указанные пределы. И считается неудовлетворительной, когда более 2,5% сосудов оказываются за границами поля допуска. Вероятности ошибок I и II рода – 5%. Определите: объем выборки n; AQL, LQ, контрольные границы, если СКО контролируемого параметра s=0,2 см3.
Задача 11.4.35. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найдите математическое ожидание числа нестандартных деталей среди двух отобранных.
Задача 11.4.36. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найдите математическое ожидание числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.
Задача 11.4.37. При проверки 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных. Найдите 95% - й доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.
Задача 11.4.38. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образцом отобраны и проверены 100 шт. Коэффициент усиления 36 транзисторов оказался меньше 10. Найдите 95%-й доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.
Задача 11.4.39. С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 100 шт., причём 10 оказались бракованными. Найдите: а) 90%-й доверительный интервал для вероятности того, что произвольно выбранный подшипник окажется бракованным; б) количество подшипников, которые надо проверить, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что доля брака отличается от частоты не более чем на 5%.
