Некоторые свойства преобразований Фурье

Рассматриваемые далее свойства преобразований Фурье позволяют наиболее просто по заданной непериодической функции S(t) находить ее спектральную плотность F(jω) или по заданной спектральной плотности F(jω) находить оригинал, т.е. функцию S(t).

1. Свойство линейности. При преобразованиях Фурье вследствие их линейности может быть использован принцип суперпозиции, в силу которого суммирование временных функций соответствует суммированию их спектральных функций. Если

и , то

. (1.37)

(Знак означает соответствие).

2. Изменение масштаба функции. Если

, то . (1.38)

3. Теорема подобия. Если

то . (1.39)

Следовательно, увеличение длительности импульса вызывает сжатие его спектральной плотности и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра, т.е. ширина полосы пропускания должна быть тем больше, чем короче передаваемый импульс.

4. Теорема запаздывания. Если

, то . (1.40)

Согласно этой теореме запаздывание функции на время t₀ вызывает смещение фазового спектра функции на угол ωt_0,но амплитудный спектр не изменяется.

С помощью теоремы запаздывания может быть найдена спектральная плотность последовательности одинаковых импульсов, если известна спектральная плотность одного импульса.

5. Теорема смещения. Если

, то (1.41)

Умножение сигнала на комплексную амплитуду е^jω₀^t приводит к сдвигу спектра сигнала по оси частот на величину ω₀ в сторону увеличения частот. На основании свойства смещения спектра функции можно найти спектры отрезков синусоид и косинусоид по известным спектрам огибающих этих гармонических функций. Например, пусть задана функция S(t)cosω₀t и известно, что . Преобразуем заданную функцию, записав cosω₀t в показательной форме:

(1.42)