Позиционные и метрические задачи

Модуль 3

Рассматриваемые вопросы:

1. Понятия и определения.

2. Принадлежность точки прямой.

3. Принадлежность точки поверхности.

4. Принадлежность линии поверхности.

5. Пересечение линии с линией.

6. Пересечение поверхности с поверхностью:

а) объединенный алгоритм решения задач по определению линии пересечения двух поверхностей;

б) пересечение двух плоскостей.

7. Определение точки пересечения линии с поверхностью:

а) объединенный алгоритм построения точки встречи прямой с поверхностью и плоскостью.

8. Построение проекций на П₁, П₂ двух скрещивающихся прямых
МN и КL.

Круг задач, ответы на которые могут быть получены графическим путем, чрезвычайно широк. При этом независимо от степени сложности их решения и характера вопросов, требующих ответа, все они могут быть отнесены всего лишь к одному из двух классов:

1-й класс – задачи позиционные;

2-й класс – задачи метрические.

Следует иметь в виду, что деление задач на позиционные и метрические является условным. Если из всего многообразия задач позиционную группу можно выделить, то чисто метрические задачи встречаются очень редко; как правило, при решении метрических задач предварительно приходится выяснять позиционные отношения между геометрическими фигурами, входящими в условие задачи или построенными в процессе решения, т.е. решать позиционную задачу.

Несмотря на это, распределение задач по отмеченным классам в методическом отношении имеет большой смысл, т.к. позволяет установить единые (обобщенные) алгоритмы, пригодные для решения широкого круга задач, входящих в один класс, и, как следствие, обеспечить простой и надежный поиск частного алгоритма для решения поставленной задачи.

Под позиционными задачами подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности).

К позиционным относятся также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам.

Первая группа задач может быть объединена общим названием "Задачи на принадлежность элементов", к ним относятся задачи на определение:

1) принадлежность точки линии (A Î l);

2) принадлежность точки поверхности (A Î a);

3) принадлежность линии поверхности (l Î a).

Задачи на пересечение геометрических элементов содержат также три типа задач:

1) на пересечение линии с линией (n Ç m);

2) на пересечение линии с поверхностью (l Ç a);

3) на пересечение поверхности с поверхностью (a Ç b).

Но все многообразие позиционных задач можно свести к решению задач 1-й группы – задачи на принадлежность.

Вопрос 1: Как можно сформулировать условия задач, входящих во вторую группу, чтобы убедиться в справедливости предыдущего утверждения?

Ответ: Задачу 1, 2-й групп (n Ç m) можно заменить задачей 1 (A Î l) первой группы "Определить точку, принадлежащую как линии n, так и линии m".

Задачу 2, 3-й групп (a Ç b) можно заменить задачей, относящейся к первой группе "Определение линии l, принадлежащей как поверхности a, так и поверхности b".

Задачу (а Ç a) можно рассмотреть как две задачи первой группы: A Î l (задача 1) и A Î a (задача 2).

Определение позиционных задач: "Если фигура Ф' принадлежит Ф, то ортогональная проекция фигуры Ф'_i принадлежит ортогональной проекции фигуры Ф_i".