Г) Фазовое представление колебаний

При фазовом представлении колебаний состояние колеблющейся системы описывается в фазовой плоскости. Фазовой плоскостью называют плоскость, координаты точек которой определяют состояние колеблющейся системы с одной степенью свободы. По осям координат откладываются значения координат и скоростей механической системы. При гармонических колебаниях вместо скорости (или импульса) откладывается обычно отношение скорости тела к циклической частоте колебаний. Изменению состояния системы соответствует перемещение точки по фазовой плоскости. Отметим, что на фазовой плоскости можно представить не только колебательный процесс, но и любой Другой вид движения, например, прямолинейное движение, движение тела, брошенного под углом к горизонту и т.д.

Рассмотрим фазовые представления некоторых частных случаев движения. На рис. 102 представлено равномерное прямолинейное движение. Действительно, при равномерном и прямолинейном движении на всей траектории (для любой координаты) скорость тела имеет постоянное значение. Этому случаю соответствует прямая, параллельная оси X на фазовой плоскости.

Рис.102 Рис.103

Если же скорость с течением времени изменяется, то фазовая траектория не будет представлять собой прямую линию. Так, если тело совершает равнозамедленное движение с начальной скоростью из начала координат, то закон изменения его скорости записывается в виде , а закон движения - в форме . Исключая из этих зависимостей время, получаем уравнение движения в фазовой плоскости . Этому уравнению соответствует парабола, представленная на рис.103.

При гармонических колебаниях закон движения тела можно записать в виде . Скорость его при этом для произвольного момента времени имеет вид . Исключая время, получим уравнение фазовой траектории

, которая представлена на рис.104.

Рис.104 Рис.105

Этими основными видами геометрического представления колебаний и будем пользоваться в дальнейшем.

Рассмотрим также равномерное движение точки по окружности. Радиус вращения равен ,, в исходный момент времени направление на точку составляло угол с осью X (рис.105).

В любой момент времени проекции точки на оси координат равны и . Соответствующие проекции скорости на оси координат равны и . Ускорение же в проекциях на оси координат равно и . Отметим, что такое определение закона движения точки в проекциях на оси координат аналогично уже отмеченному выше векторному представлению колебаний.

В самом деле, как видно из выражений проекций точки на оси координат, а также проекций векторов скорости её и ускорения, вдоль отдельных координатных направлений точка совершает гармонические колебания. При этом угловая скорость точки численно равна циклической (круговой) частоте колебаний (откуда ясно происхождение названия самой частоты).