VI.5. Магнитные дипольные и электрические квадрупольные поля

Следующий член в разложении (6.38) приводит к векторному потенциалу

. (6.53)

Это выражение можно представить в виде суммы двух членов, один из которых дает поперечное магнитное поле, а другой – поперечное электрическое. Эти физически различные компоненты можно разделить, записывая подынтегральное выражение в (6.53) в виде суммы симметричной и антисимметричной частей:

. (6.54)

Вторая антисимметричная часть, очевидно, связана с намагниченностью, обусловленной током:

. (6.55)

Первый, симметричный член, как будет показано ниже, связан с электрическим квадрупольным моментом.

Рассматривая только магнитный член, получаем

, (6.56)

где - магнитный дипольный момент

. (6.57)

Переходя к вычислению полей, заметим, что векторный потенциал (6.56) с точностью до множителя равен магнитному полю (6.44) электрического диполя, если заменить на . Поэтому магнитное поле диполя будет равно электрическому полю электрического диполя с заменой . Таким образом, получаем

. (6.58)

Теперь легко установить, что электрическое поле имеет вид

, (6.59)

т.е. равно взятому с обратным знаком магнитному полю электрического диполя. Все выводы, относящиеся к поведению полей в ближней и дальней зонах, остаются теми же, что и для электрического дипольного источника, если только сделать замену , , . Аналогично распределение излучения и излучаемая мощность для обоих диполей одинаковы. Единственное различие полей излучения связано с их поляризацией. Для электрического диполя электрический вектор лежит в плоскости, образованной векторами и , в то время как для магнитного диполя он перпендикулярен плоскости, проходящей через и .

Интеграл от симметричного члена в (6.54) после интегрирования по частям и некоторых преобразований приводится к виду

. (6.60)

Здесь заменена на согласно уравнению непрерывности. Так как этот интеграл содержит второй момент плотности заряда, то, следовательно, он соответствует электрическому квадрупольному источнику. Векторный потенциал имеет вид

. (6.61)

Выражения для полей в общем случае довольно сложны, и мы ограничимся рассмотрением полей в волновой зоне. Тогда легко видеть, что

, , (6.62)

Таким образом, для магнитного поля получаем

. (6.63)

Используя определение тензора квадрупольного момента

, (6.64)

можно записать интеграл (6.63) в виде

. (6.65)

Заметим, что величина и направление вектора зависят как от направления наблюдения, так и от свойств источника.

В этих обозначениях магнитное поле запишется в виде

, (6.66)

а средняя мощность, излучаемая в единичный телесный угол – в виде

. (6.67)

Угловое распределение имеет довольно сложный характер. Однако мощность излучения вычисляется непосредственно. Учитывая определение , представим угловую зависимость в виде

. (6.68)

Вычисление угловых интегралов от произведений прямоугольных составляющих дает

. (6.69)

Откуда

. (6.70)

Так как сумма элементов тензора , стоящих на главной диагонали, равна нулю, первый член в квадратных скобках тождественно обращается в нуль. Отсюда получается окончательное выражение для полной мощности излучения квадрупольного источника

. (6.71)

При заданном квадрупольном моменте излучаемая мощность пропорциональна шестой степени частоты в отличие от дипольного излучения, где она пропорциональна четвертой степени частоты.

Во временной области можно получить следующие выражения для магнитного поля и интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений:

. (6.73)

Простым примером квадрупольного источника является осциллирующее сфероидальное распределение зарядов. В этом случае недиагональные элементы равны нулю, а диагональные элементы можно представить как