Основные свойства преобразований Фурье

Итак, между сигналом u (t)и его спектральной плотностью S (ω) существует однозначное соответствие, установленное соотношениями (2.33) и (2.34). Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сиг­нала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спек­тральной плотности. Рассмотрим несколько основных таких радиотех­нических преобразований.

Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал u ₁(t)со спектральной плотностью S ₁(ω) задержан на некоторое время t _c. В этом случае u ₂(t) = u ₁(t — t _с), и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (2.33) имеет вид:

Введя новую переменную интегрирования τ = t — t _c, получим

Таким образом, сдвиг сигнала во времени на некоторый интервал t _c при­водит лишь к изменению аргумента спектральной плотности на величину ω t _c,а ее модуль остается неизменным. На практике сдвиг сигнала во времени осуществляется при аудио- и видеозаписи на различные носители. Сколь долго (теоретически) не хранилась бы такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений.

Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). Сложение, усиление и ослабление сигналов относятся к линейным операциям, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детер­минированных сигналов u ₁(t), u ₂(t), …, u_N (t),обладающих спектральными плотностями S ₁(ω), S ₂(ω), …, S _N (ω), то суммарному (разностному) значению сигналов u _c(t)= u ₁(t) + u ₂(t) + … + u_N (t) соответствует сумма (разность) их спектральных плотностей S _c(ω) = S ₁(ω) + S ₂(ω) + … + S _N (ω).

Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (2.33) подставить сумму исходных сигналов. В общем виде теорему линейности можно записать следующим образом:

где а_i — произвольные числовые коэффициенты; i = 0, 1,..., N.

Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Смысл данной теоремы за­ключается в следующем: если S ₁(ω) — спектральная плотность сигнала u ₁(t), то спектральная плотность S ₂(ω + Ω), полученная путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину Ω, соответствует сигналу . Действительно, согласно (2.33):

Подобное преобразование сигнала применяют в системах связи либо при пере­носе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции. Соот­ношение (2.38) показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину £2, равную частоте сдвига.

Изменение масштаба времени. Предположим, что в исходном сигнале u ₁(t)из­менен масштаб времени таким образом, что аргумент t умножен на некоторый по­стоянный коэффициент b и . Если b >1, то происходит «сжатие» исход­ного сигнала; если же 0 < b <1 — исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это положение.

Спектральная плотность измененного сигнала

Введя новую переменную τ = bt, получим

откуда

Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в раз b сопровождается сжатием его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьше­ние длительности приводит к расширению спектра.