Студопедия
Обратная связь

Сколько стоит твоя работа?
Тип работы:*
Тема:*
Телефон:
Электронная почта:*
Телефон и почта ТОЛЬКО для обратной связи и нигде не сохраняется.

Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Определение. Пусть у нас заданы группа  и подгруппа , пусть также дан элемент . Левым смежным классом называется множество . Правым смежным классом называется множество .

Примеры:
                1) Пусть  и  - группы подстановок. Доопределим подстановки из  следующим образом:  они переводят в . Тогда получим, что  - это подгруппа . Пусть . Левый смежный класс – это по определению множество . Т.к.  имеем, что , то . Верно и обратное, если , то . Т.е. левый смежный класс  - это множество подстановок, переводящих  в .
2) Аналогично пусть  и  и . Аналогичными рассуждениями можно получить, что  - это множество подстановок, переводящих  в .

                На этих примерах видно, что левый смежный класс не совпадает с правым, т.е. .

                Предложение. .
Доказательство.
                Пусть  при . . Убедимся в том, что все элементы  различны. Если , то , следовательно, , следовательно , следовательно .
Если , то аналогичными рассуждениями получаем, что .

                Предложение. Если , тогда .
Доказательство.
                Т.к. , то . Тогда  имеем, что , следовательно, . Обратно. Т.к. , то  имеем, что , следовательно , т.е. .

                Следствие. Любые два левых (правых) смежных класса либо совпадают, либо не пересекаются.

                Теорема (Лагранж). Пусть  - подгруппа конечной группы , тогда , где  - число различных левых (правых) смежных классов по .
Доказательство.
                Пусть , тогда . Т.е. любой элемент группы  попадает в некоторый смежный класс, таким образом, вся группа  разбивается на  непересекающихся множеств, каждое из которых имеет  элементов, следовательно .

                Упражнение. Докажите, что  тогда и только тогда, когда .

                Следствие 1. Порядок элемента делит порядок группы.
Доказательство.
                Пусть , тогда . По теореме Лагранжа  делит порядок группы, следовательно и порядок элемента делит порядок группы.

                Следствие 2. Группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
                Пусть  - простое число. Возьмем элемент , тогда  и  делит . Следовательно , следовательно  и .

                Теорема. Пусть  - конечная подгруппа в . Тогда  - циклическая.
Доказательство.
                Пусть , если , то по следствию 1 , т.е. любой элемент из  является корнем -й степени из 1. Следовательно .  циклическая, а подгруппа циклической группы тоже циклическая.

                Упражнение. Докажите эту теорему для любого поля.





 

Читайте также:

Алгебра Вейля

Линейное пространство

Группа G

Внешнее произведение групп

Группа G и ее нормальные подгруппы

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 7389

 
 

54.224.13.210 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.