Условная энтропия

Найдем энтропию сложного опыта α ^ β в том случае, если опыты не являются независимыми, т.е. если на исход β оказывает влияние результат опыта α. Например, если в ящике всего два разноцветных шара и α состоит в извлечении первого, а β - второго из них, то а полностью снимает неопределенность сложного опыта α ^ β, т.е. оказывается Н(α ^ β) = H(α), a не сумме энтропии, как следует из (2.5).

Связь между α и β состоит в том, что какие-то из исходов A⁽^α⁾ могут оказывать влияние на исходы из В⁽^β⁾, т.е. некоторые пары событий A_i ^ B_j не являются независимыми. Но тогда в (2.6) p(A_i ^ B_j) следует заменять не произведением вероятностей, а, согласно (А.14):

где - р_Ai (B_j) вероятность наступления исхода В, при условии, что в первом опыте имел место исход А_i.

Тогда

При подстановке в (2.6) получаем:

В первом слагаемом индекс j имеется только у B; изменив порядок суммирования, получим члены вида:

Однако,

поскольку

образует достоверное событие (какой-либо из исходов опыта β все равно реализуется). Следовательно, первое слагаемое оказывается равным:

Во втором слагаемом члены вида

имеют смысл энтропии опыта β при условии, что в опыте а реализовался исход А_i - будем называть ее условной энтропией. Если ввести данное понятие и использовать его обозначение, то второе слагаемое будет иметь вид:

где H_α(β) есть средняя условная энтропия опыта β при условии выполнении опыта α. Окончательно получаем для энтропии сложного опыта:

Полученное выражение представляет собой общее правило нахождения энтропии сложного опыта. Совершенно очевидно, что выражение (2.5) является частным случаем (2.10) при условии независимости опытов α и β.

Относительно условной энтропии можно высказать следующие утверждения:

1. Условная энтропия является величиной неотрицательной. H_α(β) = 0 только в том случае, если любой исход а полностью определяет исход β (как в примере с двумя шарами), т.е.

В этом случае Н(α ^ β) = Н(α).

2. Если опыты α и β независимы, то Н_α(β) = Н(β), причем это оказывается наибольшим значением условной энтропии. Другими словами, опыт α не может повысить неопределенность опыта β; он может либо не оказать никакого влияния (если опыты независимы), либо понизить энтропию β.

Приведенные утверждения можно объединить одним неравенством: