Пример 4.2

Выполнить преобразование 123₁₀ → Z₅.

Остатки от деления (3, 4) и результат последнего целочисленного деления (4) образуют обратный порядок цифр нового числа. Следовательно, 123₁₀ = 443₅.

Необходимо заметить, что полученное число нельзя читать «четыреста сорок три», поскольку десятки, сотни, тысячи и прочие подобные обозначения чисел относятся только к десятичной системе счисления. Прочитывать число следует простым перечислением его цифр с указанием системы счисления («число четыре, четыре, три в пятиричной системе счисления»).

Способ 2 вытекает из соотношения (4.4); действия производятся в соответствии со следующим алгоритмом:

1) определить т - 1 - максимальный показатель степени в представления числа по форме (4.1) для основания q;

2) целочисленно разделить исходное число (Z₁₀) на основание новой системы счисления в степени т - 1 (т.е. q^m^-¹ ) и найти остаток от деления; результат деления определит первую цифру числа Z_q;

3) остаток от деления целочисленно разделить на q^m^-2 , результат деления принять за вторую цифру нового числа; найти остаток; продолжать эту последовательность действий, пока показатель степени q не достигнет значения 0.

Продемонстрируем действие алгоритма на той же задаче, что была рассмотрена выше. Определить т - 1 можно либо путем подбора (5⁰= 1 < 123; 5¹ = 5 < 123; 5²= 25 < 123; 5³= 125 > 123, следовательно, т - 1 = 2), либо логарифмированием с оставлением целой части логарифма (log₅123 = 2,99, т.е. m - 1 = 2). Далее:

Алгоритмы перевода Z_p_→ Z₁₀ явно вытекает из представлении (4.1) или (4.2): необходимо Z_p представить в форме многочлена и выполнить все операции по правилам десятичной арифметики.